Тригонометрия начало. Тригонометрия с нуля: основные понятия, история. Основное тригонометрическое тождество

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

1. Введение.

Подходя к школе, слышу голоса ребят из спортивного зала, иду дальше – поют, рисуют… везде эмоции, чувства. Мой кабинет, урок алгебры, десятиклассники. Вот и наш учебник, в котором курс тригонометрии составляет половину его объема, и в нем две закладки – это те места, где я нашла слова, не относящиеся к теории тригонометрии.

К числу немногих относятся учащиеся, которые любят математику, чувствует ее красоту и не спрашивает, зачем нужно изучать тригонометрию, где применяется изученный материал? Большинство – кто просто выполняет задания, чтобы не получить плохую оценку. И твердо уверены в том, что прикладное значение математики – это получить знания, достаточные для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ (поступить и забыть).

Основная цель представляемого урока – показать прикладное значение тригонометрии в различных сферах деятельности человека. Приведенные примеры помогут учащимся увидеть связь этого раздела математики с другими предметами, изучаемыми в школе. Содержание этого урока – элемент профессиональной подготовки учащихся.

Рассказать новое о, казалось бы, давно известном факте. Показать логическую связь между тем, что уже знаем, и то, что предстоит изучить. Немного приоткрыть дверь и заглянуть за рамки школьной программы. Необычные задачи, связь с событиями сегодняшнего дня – вот те приемы, которые я использую для достижения поставленных целей. Ведь школьная математика как предмет способствует не столько обучению, сколько развитию личности, его мышления, культуры.

2. Конспект урока по алгебре и началам анализа (10 класс).

Организационный момент: Расставить шесть столов полукругом (модель транспортира), листы с заданиями для учащихся на столах (Приложение 1) .

Объявление темы урока: “Тригонометрия – это просто и понятно”.

В курсе алгебры и начал анализа мы приступаем к изучению тригонометрии, мне хотелось бы рассказать о прикладном значении этого раздела математики.

Тезис урока:

“Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика”.
(Г. Галилей).

В конце урока подумаем вместе, смогли ли мы заглянуть в эту книгу и понять язык, на котором она написана.

Тригонометрия острого угла.

Тригонометрия – слово греческое и в переводе означает “измерение треугольников”. Возникновение тригонометрии связано с измерениями на земле, строительным делом, астрономией. А первое знакомство с ней произошло тогда, когда вы взяли в руки транспортир. Обратили вы внимание на то, как стоят столы? Прикиньте в уме: если принять один стол за хорду, то какова градусная мера дуги, которую она стягивает?

Вспомним о мере измерения углов: 1 ° = 1/ 360 часть окружности (“градус” – от латинского grad – шаг). Знаете ли вы, почему окружность разделили на 360 частей, почему не разбили на 10, 100 или 1000 частей, как это происходит, например, при измерении длин? Расскажу вам одну из версий.

Раньше люди считали, что Земля – это центр Вселенной и она неподвижна, а Солнце совершает за сутки один оборот вокруг Земли, геоцентрическая система мира, “гео” – Земля (Рисунок № 1 ). Вавилонские жрецы, проводившие астрономические наблюдения, обнаружили, что в день равноденствия Солнце от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность, в которой видимый поперечник (диаметр) Солнца укладывается ровно 180 раз, 1 ° – след Солнца. (Рисунок № 2) .

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. В вы продолжаете знакомство с тригонометрией, решая прямоугольные треугольники. Узнаёте, что синус острого угла прямоугольного треугольника – это есть отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс – отношение противолежащего катета к прилежащему катету и котангенс – отношение прилежащего катета к противолежащему. И запоминаете, что в прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол, отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Знакомитесь с теоремами синусов и косинусов для решения произвольных треугольников.

В 2010 году московскому метрополитену исполнилось 75 лет. Каждый день мы спускаемся в метро и не замечаем, что …

Задача № 1. Угол наклона всех эскалаторов московского метро равен 30 градусам. Зная это, количество ламп на эскалаторе и примерное расстояние между лампами, можно вычислить примерную глубину заложения станции. На эскалаторе станции “Цветной бульвар” 15 ламп, а на станции “Пражская” 2 лампы. Рассчитайте, какова глубина заложения этих станций, если расстояния между лампами, от входа эскалатора до первой лампы и от последней лампы до выхода с эскалатора равны 6 м (Рисунок № 3 ). Ответ: 48 м и 9 м

Домашнее задание . Самая глубокая станция московского метро – “Парк Победы”. Какова глубина её заложения? Предлагаю вам самостоятельно найти недостающие данные для решения домашней задачи.

У меня в руках лазерная указка, она же – дальномер. Измерим, например, расстояние до доски.

Китайский дизайнер Хуань Цяокун догадался соединить в одно устройство два лазерных дальномера, транспортир и получил инструмент, позволяющий определять расстояние между двумя точками на плоскости (Рисунок № 4 ). Как вы думаете, с помощью какой теоремы решается эта задача? Вспомните формулировку теоремы косинусов. Согласны ли вы со мной, что ваших знаний уже достаточно для того, чтобы сделать такое изобретение? Решайте задачи по геометрии и совершайте каждый день маленькие открытия!

Сферическая тригонометрия.

Помимо плоской геометрии Евклида (планиметрии) могут существовать и другие геометрии, в которых рассматриваются свойства фигур не на плоскости, а на других поверхностях, например на поверхности шара (Рисунок № 5 ). Первый математик, заложивший фундамент для развития неевклидовых геометрий был Н.И. Лобачевский – “Коперник геометрии”. С 1827 г. в течение 19 лет он был ректором Казанский Университета.

Сферическая тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии, рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов на сфере (Рисунок № 6 ).

Исторически сферическая тригонометрия и геометрия возникли из потребностей астрономии, геодезии, навигации, картографии. Подумайте, какое из этих направлений в последние годы получило столь бурное развитие, что его результат уже применяется в современных коммуникаторах. … Современное применение навигации – это система спутниковой навигации, которая позволяет определить местоположение и скорость объекта по сигналу его приемника.

Глобальная Навигационная Система (GPS). Для определения широты и долготы приемника необходимо, как минимум, принимать сигналы от трех спутников. Прием сигнала от четвертого спутника позволяет определить и высоту объекта над поверхностью (Рисунок № 7 ).

Компьютер приемника решает четыре уравнения с четырьмя неизвестными до тех пор, пока не найдется решение, которое проводит все окружности через одну точку (Рисунок № 8 ).

Знания из тригонометрии острого угла оказались недостаточны для решения более сложных практических задач. При изучении вращательных и круговых движений значение величины угла и круговой дуги не ограничены. Возникла необходимость перехода к тригонометрии обобщенного аргумента.

Тригонометрия обобщенного аргумента.

В качестве модели, с помощью которой математики работают с углами, была выбрана окружность (Рисунок № 9 ). Положительные углы откладываются против часовой стрелки, отрицательные – по часовой. Знакомы ли вы с историей такого соглашения?

Как известно, механические и солнечные часы устроены так, что их стрелки вращаются “по солнцу”, т.е. в том же направлении, в каком мы видим кажущееся нам движение Солнца вокруг Земли. (Вспомните начало урока – геоцентрическая система мира). Но с открытием Коперником истинного (положительного) движения Земли вокруг Солнца, видимое нами (т.е. кажущееся) движение Солнца вокруг Земли является фиктивным (отрицательным). Гелиоцентрическая система мира (гелио – Солнце) (Рисунок № 10 ).

Разминка .

1. Вытянуть правую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на 720 градусов.
2. Вытянуть левую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на (–1080) градусов.
3. Положите кисти рук на плечи и сделайте по 4 круговых движения вперед и назад. Какова сумма углов поворота?

В 2010 прошли Зимние Олимпийские игры в Ванкувере, критерии выставления оценок за выполненное упражнение фигуристом мы узнаем, решив задачу.

Задача № 2. Если фигурист совершает поворот на угол 10 800 градусов при выполнении упражнения “винт” за 12 секунд, то он получает оценку “отлично”. Определите, какое количество оборотов совершит фигурист за это время и скорость его вращения (обороты в секунду). Ответ: 2,5 оборота/сек.

Домашнее задание . На какой угол поворачивается фигурист, получивший оценку “неудовлетворительно”, если при таком же времени вращения его скорость была 2 оборота в секунду.

Наиболее удобной мерой измерения дуг и углов, связанных с вращательными движениями, оказалась радианная (радиусная) мера, как более крупная единица измерения угла или дуги (Рисунок № 11 ). Эта мера измерения углов вошла в науку через замечательные труды Леонарда Эйлера. Швейцарец по происхождению, он 30 лет прожил в России, был членом Петербургской Академии наук. Именно ему мы обязаны “аналитической” трактовкой всей тригонометрии, он вывел формулы, которые вы сейчас изучаете, ввел единообразные знаки:.sin x , cos x , tg x , ctg x .

Если до 17-го века развитие учения о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то, начиная с 17-го века, тригонометрические функции начали применять к решению задач механики, оптики, электричества, для описания колебательных процессов, распространения волн. Везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями, нашли применение тригонометрические функции. Функции, выражающие законы периодических процессов, обладают особым только им присущим свойством: они повторяют свои значения через один и тот же промежуток изменения аргумента. Изменения всякой функции наиболее наглядно передаются на её графике (Рисунок № 12 ).

Мы уже обращались за помощью к своему организму, при решении задач на вращение. Давайте прислушаемся к биению своего сердца. Сердце – самостоятельный орган. Головной мозг управляет любой нашей мышцей, кроме сердечной. У нее есть собственный центр управления – синусный узел. При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла (размером с просяное зерно)– распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду) (Рисунок № 13 ).

Теперь поговорим о музыке. Математика – это музыка, это союз ума и красоты.
Музыка – это математика по вычислениям, алгебра по абстрагированию, тригонометрия по красоте. Гармоническое колебание (гармоника) – это синусоидальное колебание. График показывает, как изменяется воздушное давление на барабанную перепонку слушателя: вверх и вниз по дуге, периодически. Воздух давит то сильнее, то слабее. Сила воздействия совсем невелика и колебания происходят очень быстро: сотни и тысячи толчков каждую секунду. Такие периодические колебания мы воспринимаем как звук. Сложение двух различных гармоник дает колебание более сложной формы. Сумма трех гармоник – еще сложнее, а естественные, природные звуки и звуки музыкальных инструментов складываются из большого количества гармоник. (Рисунок № 14 .)

Каждая гармоника характеризуется тремя параметрами: амплитудой, частотой и фазой. Частота колебаний показывает, сколько толчков давления воздуха происходит за одну секунду. Большие частоты воспринимаются как "высокие", "тонкие" звуки. Выше 10 КГц – писк, свист. Маленькие частоты воспринимаются как "низкие", "басовые" звуки, рокот. Амплитуда – это размах колебаний. Чем размах больше, тем сильнее воздействие на барабанную перепонку, и тем громче звук, который мы слышим (Рисунок № 15 ). Фаза – это смещение колебаний во времени. Фаза может измеряться в градусах или радианах. В зависимости от фазы смещается нулевой отсчет на графике. Для задания гармоники достаточно указать фазу от –180 до +180 градусов, поскольку при больших значениях колебание повторяется. Два синусоидальных сигнала с одинаковыми амплитудой и частотой, но разными фазами складываются алгебраически (Рисунок № 16 ).

Итог урока. Как вы думаете, смогли мы прочитать несколько страниц из Великой книги природы? Узнав о прикладном значении тригонометрии, стала ли вам более понятна ее роль в различных сферах деятельности человека, понятен ли вам был изложенный материал? Тогда вспомните и перечислите сферы применения тригонометрии, с которыми вы познакомились сегодня или знали ранее. Я надеюсь, что каждый из вас нашел в сегодняшнем уроке что-то новое для себя, интересное. Быть может, это новое подскажет вам путь в выборе будущей профессии, но, кем бы вы ни стали, ваша математическая образованность поможет стать профессионалом своего дела и интеллектуально развитым человеком.

Домашнее задание . Ознакомиться с конспектом урока (

Когда-то в школе на изучение тригонометрии выделялся отдельный курс. В аттестат выставляли оценки по трём математическим дисциплинам: алгебре, геометрии и тригонометрии.

Затем в рамках реформы школьного образования тригонометрия перестала существовать как отдельный предмет. В современной школе первое знакомство с тригонометрией происходит в курсе геометрии 8 класса. Более глубокое изучение предмета продолжается в курсе алгебры 10 класса.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса сначала даются в геометрии через связь сторон прямоугольного треугольника.

Острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Эти определения применимы только для острых углов (от 0º до 90°).

Например,

в треугольнике ABC, где ∠C=90°, BC — катет, противолежащий углу A, AC — прилежащий к углу A катет, AB — гипотенуза.

В курсе алгебры 10 класса вводятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла (в том числе, отрицательного).

Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат — точке O(0;0). Точку пересечения окружности с положительным направлением оси абсцисс обозначим P 0 .

В геометрии угол рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении величина угла изменяется от 0° до 180°.

В тригонометрии угол рассматривают как результат поворота луча OP 0 вокруг начальной точки O.

При этом поворот луча против часовой стрелки договорились считать положительным направлением обхода, по часовой стрелке — отрицательным (это соглашение связано с истинным движением Солнца вокруг Земли).

Например, при повороте луча OP 0 вокруг точки O на угол α против часовой стрелки точка P 0 перейдёт в точку P α ,

при повороте на угол α по часовой стрелке — в точку F.

При таком определении величина угла может принимать любые значения.

Если продолжить вращение луча OP 0 против часовой стрелки, при повороте на угол α°+360°, α°+360°·2,…,α°+360°·n, где n — целое число (n∈Ζ), снова попадём в точку P α:

Углы измеряют в градусах и в радианах.

1° — это угол, равный 1/180 части градусной меры развёрнутого угла.

1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности:

∠AOB=1 рад.

Обозначения радиана обычно не пишут. Обозначение градуса в записи пропускать нельзя.

Например,

Точка P α , полученная из точки P 0 поворотом луча OP 0 вокруг точки O на угол α против часовой стрелки, имеет координаты P α (x;y).

Опустим из точки P α перпендикуляр P α A на ось абсцисс.

В прямоугольном треугольнике OP α A:

P α A — катет, противолежащий углу α,

OA — катет, прилежащий к углу α,

OP α — гипотенуза.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

По определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике имеем:

Таким образом, в случае окружности с центром в начале координат произвольного радиуса синусом угла α называется отношение ординаты точки P α к длине радиуса.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки P α к длине радиуса.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P α к её абсциссе.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки P α к её ординате.

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят только от величины α и не зависят от длины радиуса R (это следует из подобия окружностей).

Поэтому удобно выбрать R=1.

Окружность с центром в начале координат и радиусом R=1 называется единичной.

Определения

1) Синусом угла α называется ордината точки P α (x;y) единичной окружности:

2) Косинусом угла α называется абсцисса точки P α (x;y) единичной окружности:

3) Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P α (x;y) к её абсциссе, то есть отношение sinα к cosα (где cosα≠0):

4) Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки P α (x;y) к её ординате, то есть отношение cosα к sinα (где sinα≠0):

Введённые таким образом определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов (если рассматривать sinα, cosα, tgα и ctgα как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан, то есть синус числа α — это синус угла в α радиан, косинус числа α — это косинус угла в α радиан и т.д.).

Свойства тригонометрических функций изучаются в курсе алгебры в 10 или 11 классе отдельной темой. Тригонометрические функции широко применяются в физике.

Рубрика: |