Свойства степеней с действительным показателем. Письменный экзамен. Свойства степеней с рациональными показателями

25.05.2022

Тема урока: Степень с рациональным и действительным показателями.

Цели:

Образовательные :

обобщить понятие степени;
отработать умение находить значение степени с действительным показателем;
закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;
выработать навык использования свойств степени при вычислениях.

Развивающие :

интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
активизировать самостоятельную деятельность;
развивать познавательный интерес.

Воспитательные :

воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;
эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем

Учащиеся должны уметь:

определять имеет ли смысл выражение со степенью;

использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;

решать примеры, содержащие степень;

сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Педагогические технологии : проблемное обучение, обучение в сотрудничестве, личностно - ориентированное обучение, коммуникативное.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

презентация

формулы и таблицы (приложение 1,2)

задание для самостоятельной работы (приложение 3)

План урока

№

Этап урока

Цель этапа

Время,мин.

Начало урока

Сообщение темы урока, постановка целей урока.

1-2 мин

Устная работа

Повторить формулы степеней.

Свойства степеней.

4-5 мин.

Фронтальное решение у

доски из учебника №57(1,3,5)

№58(1,3,5) с подробным следованием плану решения.

Формирование умений и навыков

у учащихся применять свойства

степеней при нахождениях значений выражения.

8-10 мин.

Работа в микрогруппах.

Выявление пробелов в знаниях

учащихся, создание условий для

индивидуального развития ученика

на уроке.

15-20 мин.

Подведение итогов работы.

Отследить успешность работы

Учащихся при самостоятельном решении задач по теме, выяснить

характер затруднений, их причины,

указать коллективно пути решения.

5-6 мин.

Домашнее задание

Познакомить учащихся с заданием на дом. Дать необходимые пояснения.

1-2 мин.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Здравствуйте ребята! Запишите в тетрадях число, тема урока.

Рассказывают, что изобретатель шахмат в награду за свое изобретение попросил у раджи немного риса: на первую клетку доски он попросил положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью- ещё в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки.

Его просьба показалась радже слишком скромной, однако вскоре выяснилось, что выполнить её невозможно. Число зёрн, которые нужно было передать изобретателю шахмат в награду, выражается суммой

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Эта сумма равна огромному числу

18446744073709551615

И она столь велика, что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты, включая мировой океан.

Степени используют при записи чисел и выражений, что делает их более компактными и удобными для выполнения действий.

Часто степени употребляются при измерении физических величин, которые могут быть «очень большими» и «очень маленькими».

Масса Земли 6000000000000000000000т записывают в виде произведения 6.10 21 т

Диаметр молекулы воды 0,0000000003м записывают в виде произведения

3.10 -10 м.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Итак а x ,где х- действительное число. Выберите из выражений

С натуральным показателем

С целым показателем

С рациональным показателем

С иррациональным показателем

3. Какая наша цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков

4 . Степень с рациональным показателем

Основание

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

5 . Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:

6 . Определение

Если число r - натуральное, то а r есть произведение r чисел, каждое из которых равно а:

a r = a . a . … . a

Если число r - дробное и положительное, то есть, где m и n - натуральные

числа, то

Если показатель r является рациональным и отрицательным, то выражение a r

определяется как величина, обратная к a - r

или

Если

7 . Например

8 . Степени положительных чисел обладают следующими основными свойствами:

9 . Вычислить

10. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

А)При умножении степеней с равными основаниями

1)Основания умножаются, а показатель остаётся прежним

Б)При делении степеней с равными основаниями

2)Основания делятся, а показатель остаётся прежним

В)При возведении степени в степень

3)Основание остаётся прежним, а показатели умножаются

Г)При умножении степеней с равными показателями

4)Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются

Д)При делении степеней с равными показателями

5)Основание остаётся прежним, а показатели складываются

11 . Из учебника (у доски)

Для решения в классе:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . По материалам ЕГЭ

(самостоятельная работа) на листочках

XIV века.

Ответ: Орезма. 13. Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями:

14. Домашнее задание

§ 5 (знать определения, формулы)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

В заключение урока:

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»

– Так сказал великий русский математик Михаил Ломоносов.

– Спасибо за урок!

Приложение 1

1.Степени. Основные свойства

Показателем

a 1 =a

a n =a.a. … .a

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Степень с целым показателем

a 0 =1,

где a

0 0 -не определено.

Степень с рациональным

Показателем

где a

m n

Степень с иррациональным показателем

Ответ: ==25,9...

1. a x . a y =a x+y

2.a x : a y = = a x-y

3. .(a x ) y =a x.y

4.(a.b) n =a n .b n

5. (=

6. (

Приложение 2

2. Степень с рациональным показателем

Основание

степени

Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n

r = n

r = - n

r = 0

r =0

a n = a . a . … . a

a -n =

a 0 =1

a n =a.a. … .a

a -n =

Не существует

a 0 =1

а=0

0 n =0

Не существует

Приложение 3

3. Самостоятельная работа

Впервые действия над степенями использовал французский математик XIV века.

Расшифруйте фамилию французского ученого.

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для

Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .

Для любого угла α такого, что α ≠ πk/2 (k принадлежит множеству Z), справедливо:

Для любого угла α справедливы равенства:

Для любого угла α такого, что α ≠ πk (k принадлежит множеству Z), справедливо:

Формулы приведения

В таблице даны формулы приведения для тригонометрических функций.

Функция (угол в º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º + α
sin	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α
cos	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α	cos α
tg	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α
ctg	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α
Функция (угол в рад.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α

Четность тригонометрических функций. Углы φ и -φ образуются при повороте луча в двух взаимно противоположных направлениях (по часовой стрелке и против часовой стрелки).
Поэтому конечные стороны OA 1 и ОА 2 этих углов симметричны относительно оси абсцисс. Координаты векторов единичной длины OA 1 = (х 1 , у 1) и ОА 2 = (х 2 , y 2) удовлетворяют соотношениям: х 2 = х 1 y 2 = -у 1 Поэтому cos(-φ) = cosφ, sin (- φ) = -sin φ, Следовательно, синус является нечетной, а косинус- четной функцией угла.
Далее имеем:
Поэтому тангенс и котангенс являются нечетными функциями угла.

8)Обра́тныетригонометри́ческиефу́нкции - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

§ аркси́нус (обозначение: arcsin)

§ аркко́синус (обозначение: arccos)

§ аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

§ арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)

§ арксе́канс (обозначение: arcsec)

§ арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin −1 для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Свойства функции arcsin

(функция является нечётной). при .

при

Свойства функции arccos[

· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.

Свойства функции arctg

· , при x > 0.

Свойства функции arcctg

· (график функции центрально-симметричен относительно точки

· при любых

12)Степенью числа a > 0 с рациональным показателем является степень, показатель которой представим в виде обыкновенной несократимой дроби x = m/n, где m целое, а n натуральное число, причём n > 1 (x - показатель степени).

Степень с действительным показателем

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число - основанием степени, число - показателем степени.

По определению полагают:

Если и - положительные числа, и - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

14)Логари́фм числа по основанию (от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число» ) определяется какпоказатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: "логарифм по основанию ".

Свойства логарифмов:

1° - основное логарифмическое тождество.

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4° - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5° - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6° - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°

8°

9° - переход к новому основанию.

15)Действительное число - (вещественное число) , любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин. ;

16)Мнимая единица - обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли-Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. мнимые числа ) - числа вида , где и - вещественные числа, - мнимая единица; то есть . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается от лат. complex - тесно связанный.

Самостоятельная работа студента 1 курс по теме Степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем (6 часов)

Изучить теоретический материал и сделать конспект (2 часа)

Разгадать кроссворд (2 часа)

Выполнить домашнюю контрольную работу (2 часа)

Справочный и дидактический материал представлен ниже

О понятии степени с рациональным показателем

Некоторые наиболее часто встречающиеся

Виды трансцендентных функций, прежде

Всего показательные, открывают доступ ко

Многим исследованиям.

Л. Э й л е р

Из практики решения-все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.

Равенство а 0 = 1 (для ) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его

труде «Алгоризм пропорций». Вместо нашего знака он писал , вместо он писал 4. Орем словесно формулирует правила действий со степенями, например (в современной записи): , и т.п.

Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в «Полной арифметике» (1544) немецкого математика М. Штифеля и у С. Стевина. Последний пишет о том, что корень степени п из числа а можно считать как степень а с дробным показателем .

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г, английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно:

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого - при введении понятия умножения на дробь и т. п.

Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств

Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начинай с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений.

Степенной функцией называют функцию вида

где α- постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями α и вместо равенства (1) запишем:

где - рациональное число. Для и по определению соответственно имеем:

у =1, у =х.

Графиком первой из этих функций на плоскости является прямая, параллельная оси Ох, а второй - биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.

При графиком функций является парабола . Декарт, который первое неизвестное обозначал через z , второе - через у, третье - через x :, записывал уравнение параболы так: (z - абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени

Декарт с помощью подстановки

получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:

изображающее окружность, расположенную в одной плоскости (z х) с параболой (4). Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (х), разбивает уравнение (3) на два уравнения (4) и (5), каждое из которых представляет определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения (3).

Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».

И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание

Показатель (Степень)

Какими словами можно объединить слова:

Рациональное число

Целое число

Натуральное число

Иррациональное число (Действительное число)

Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

– повторить свойства степени

– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений

– отработка вычислительных навыков.

Итак, а р, где р – число действительное.

Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , , 43, ) степени

– с натуральным показателем

– с целым показателем

– с рациональным показателем

– с иррациональным показателем

При каких значениях а имеет смысл выражение

а n , где n (а – любое)

а m , где m (а не равно 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?

Где p , q (а > 0)

Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

При умножении степеней с равными основаниями	Основания умножаются, а показатель остаётся прежним
При делении степеней с равными основаниями	Основания делятся, а показатель остаётся прежним

Тема урока: Степень с действительным показателем.

Задачи:

Образовательные :
- обобщить понятие степени;
- отработать умение находить значение степени с действительным показателем;
- закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;
- выработать навык использования свойств степени при вычислениях.
Развивающие :
- интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
- развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
- активизировать самостоятельную деятельность;
- развивать познавательный интерес.
Воспитательные :
- воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;
- эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем.

Учащиеся должны уметь:

определять имеет ли смысл выражение со степенью;
использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;
решать примеры, содержащие степень;
сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

ХОД УРОКА

Организационный момент

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.
Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».
И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)
Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Какая наша стратегическая цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков.

3. Итак, а р, где р – число действительное.
Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , 43, ) степени

– с натуральным показателем
– с целым показателем
– с рациональным показателем
– с иррациональным показателем

4. При каких значениях а имеет смысл выражение

аn, где n (а – любое)
аm, где m (а 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?
, где (а0)

5. Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Вычислите. Ответы в каждом столбике обладают одним общим свойством. Укажите лишний ответ (этим свойством не обладающий)

2 = =
= 6 = (неправ. др.) = (нельзя записать дес. др.)
= (дробь) = =

7. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

Один ученик записывает формулы (свойства) в общем виде.

8. Дополнить степени из п.3 так, чтобы к полученному примеру можно было применить свойства степени.

(Один человек работает у доски, остальные в тетрадях. Для проверки обменяться тетрадями, а ещё один выполняет действия на доске)

9. На доске (работает ученик):

Вычислите : =

Самостоятельно (с проверкой на листах)

Какой из ответов не может получиться в части «В» на ЕГЭ? Если в ответе получилось , то как записать такой ответ в части «В»?

10. Самостоятельное выполнение задания (с проверкой у доски – несколько человек)

Задание с выбором ответа


1
2	:
3	0,3
4

11. Задание с кратким ответом (решение у доски):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

Самостоятельно с проверкой на скрытой доске:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . Сократите дробь (на доске):

В это время один человек решает на доске самостоятельно: = (класс проверяет)

13. Самостоятельное решение (на проверку)

На отметку «3»: Тест с выбором ответа:

1. Укажите выражение, равное степени

2. Представьте в виде степени произведение: – Спасибо за урок!