Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникают продольная сила и изгибающие моменты (и, быть может, поперечные силы ).

Продольная сила и изгибающие моменты могут рассматриваться как результат воздействия на стержень внецентренно приложенной силы (рис. 25). Именно поэтому такой вид сложного сопротивления называют внецентренным растяжением или сжатием.

Изгибающие моменты связаны с координатами точки приложения силы соотношениями Поэтому из (1), формулы (1) гл. 3 и принципа независимости действия сил для нормальных напряжений в произвольной точке любого поперечного сечения с координатами х, у получим

Нейтральная ось при внецентренном растяжении или сжатии. Уравнение нейтральной оси поперечного сечения, в точках которой напряжения равны нулю, имеет в данном случае вид

Нетрудно видеть, что нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения. Остальные свойства такие же, как и при косом изгибе. Дополнительно укажем еще одно свойство нейтральной оси при внецентренном растяжении или сжатии: нейтральная ось не пересекает той четверти сечения, в которой приложена сила

Ядро сечения. Положение нейтральной оси, как видно из уравнения (4), зависит от координат точки приложения силы Если точка приложения силы располагается достаточно близко к центру тяжести сечения, в области, которая называется ядром сечения, то нейтральная ось проходит за пределами поперечного сечения, т.е. все точки сечения испытывают нормальные напряжения одного знака. На рис. 26 показаны ядра для прямоугольного и кругового сечений.

Условия прочности при внецентренном растяжении или сжатии имеют вид ограничений на максимальные нормальные напряжения.

Пример. Вычислить максимальные нормальные напряжения в поперечном сечении внецентренно сжатого стержня прямоугольного сечения при (рис. 27). Точка К приложения силы имеет координаты (рис. 27, б).

Решение. Вычислим геометрические характеристики сечения:

Уравнение нейтральной оси (4) принимает вид Из ее расположения (рис. 27, б) видно, что В и С - наиболее напряженные точки

Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:

где ; ;

y F , z F – координаты точки приложения силы F .

Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.

.

Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:

,

где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,

, – главные радиусы инерции сечения.

Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.

Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [s c ] = [s p ] = [s ], в виде

. (8.5)

Для хрупких материалов, у которых [s c ]¹[s p ], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:

и для опасной точки сечения в сжатой зоне:

,

где z 1 , y 1 и z 2 , y 2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).

Свойства нулевой линии

1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.

2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.

3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).

4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).

5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):

н.л

Рис. 8.5 Рис. 8.6

а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (y F ®∞, z F ®∞), а у ®0; а z ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);

б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (y F ® 0 и z F ® 0), а у ®∞; а z ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).

6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.

8.2.3. Ядро сечения

Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.

Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.

Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.

Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.

Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.

При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).

Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.

Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).

Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку

приложения сжимающей силы К с коор-

Рис. 8.7 динатами y F и z F по формулам:

; .

Полученные точки приложения силы с координатами y F , z F необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.

Последовательность построения ядра сечения

1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z , а также значения квадратов радиусов инерции i y , i z .

2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.

3. Для каждого положения н.л. определить отрезки a y и a z , отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.

4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления y F , и z F .

5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.

Кручение с изгибом

Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.

При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).

При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах

.

При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала

.

s

t

C

B

x

y

z

Рис. 8.9

s

s

t

t

Рис. 8.10

C

x

z

y

M

T

Рис. 8.8

Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С , находится при плоском напряженном состоянии.

Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.

Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)

.

Учитывая, что , , получим условие прочности вала

. (8.6)

Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет

.

Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности

,

после подстановки s и t получим

. (8.7)

Вопросы для самопроверки

1. Какой изгиб называется косым?

2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?

3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?

4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?

6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?

7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?

8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?

9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.

10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?

12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?

13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»

НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ

РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Методические указания

РПК «Политехник»

Волгоград

2007

УДК 539. 3/.6 (07)

Экспериментальное исследование распределения напряжений при внецентренном растяжении или сжатии: Методические указания / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 11 с.

Подготовлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Сопротивление материалов» и предназначены в помощь студентам, обучающимся по направлениям: 140200.

Ил. 5. Табл. 2. Библиогр.: 4 назв.

Рецензент: к. т. н., доцент

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Составители: Александр Владимирович Белов, Наталья Георгиевна Неумоина

Анатолий Александрович Поливанов

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ

РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Методические указания

Темплан 2007 г., поз. № 18.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,69. Усл. авт. л. 0,56.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

© Волгоградский

государственный

технический

Университет 2007

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

Тема: Экспериментальное исследование распределения напряжений при внецентренном растяжении или сжатии.

Цель работы : Определить опытным путем величину нормальных напряжений в заданных точках поперечного сечения.

Время проведения : 2 часа.

1. Краткие теоретические сведения

Внецентренное растяжении (сжатие) прямого бруса имеет место в том случае, если внешняя сила, приложенная к брусу направлена параллельно его продольной оси, но действует на некотором расстоянии от центра тяжести поперечного сечения бруса (рис. 1).

Внецентренное сжатие – сложная деформация. Её можно представить как совокупность 3-х простых деформаций (общий случай – см. рис. 1) или 2-х простых деформаций (частный случай – см. рис.2).

Общий случай

	Внецентренное сжатие
центральное		чистый изгиб относительно оси х		у

Частный случай

	Внецентренное сжатие
центральное сжатие		чистый изгиб относительно оси у

Все поперечные сечения бруса, испытывающего внецентренное сжатие являются равноопасными.

Там возникают одновременно три внутренних силовых фактора (общий случай):

· продольная сила N ;

· изгибающий момент М x ;

· изгибающий момент М y ,

и два внутренних силовых фактора (частный случай):

· продольная сила N ;

· изгибающий момент Мх и М y .

Этим внутренним силовым фактором соответствуют только нормальные напряжения, величину которых можно определить по формулам:

где А – площадь поперечного сечения бруса (м2 );

Ix ; Iy – главные центральные моменты инерции (м4 ).

Для прямоугольного сечения:

у х ;

х – расстояние от точки, в которой определяется напряжение, до оси у .

Согласно принципу независимости действия сил, напряжение в любой точке поперечного сечения при внецентренном сжатии определяется по формулам:

, (3)

. (4)

А при внецентренном растяжении:

. (5)

Знак перед каждым слагаемым выбирается в зависимости от вида сопротивления: растяжению соответствует знак «+», сжатию «-».

Для определения напряжения в угловой точке сечения используется формула:

, (6)

где Wx , Wy – моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей инерции поперечного сечения (м3 ).

Для прокатных профилей: двутавра, швеллера и т. п. моменты сопротивления приводятся в таблицах.

DIV_ADBLOCK127">

Аналогично определится знак у напряжения σМу . В этом случае сечение закрепляется по оси у (см. рис. 3 в).

2. Краткие сведения об оборудовании и образце

Схема испытания

На машине УММ-50 .	На машине Р-10.

Испытание на внецентренное растяжение производят на машине УММ-50 . Образец – стальная полоса прямоугольного поперечного сечения размерами в ´ h = 1,5 ´ 15 см . Испытание на внецентренное сжатие производят на разрывной машине Р-10 . Образец – короткая двутавровая стойка. Номер профиля 12 .

Описание используемых в данной работе машин подробно приводится в руководстве для выполнения лабораторной работы № 1.

В качестве измерительной аппаратуры здесь используются тензометрические датчики и прибор ИДЦ-I, принцип действия которых подробно изложен в руководстве для выполнения лабораторной работы № 3.

3. Выполнение лабораторной работы

3.1. Подготовка к эксперименту

1. Записать в отчет цель работы, сведения об оборудовании и материале испытываемых образцов.

2. Вычертите схему испытания, занести в отчет требуемые размеры образца.

3. Определить требуемые геометрические характеристики:

· для прямоугольника по формулам (2);

· для двутавра из таблицы сортамента.

Определить расстояния от заданных точек до оси х . Определить максимальное и минимальное значение силы F, а также значение ступени нагружения ΔF. Занести нагрузку в первую графу табл. 1.

(Примечание : максимальное значение силы F определяется по паспорту установки с учетом коэффициента концентрации напряжений исходя из условия, что расчетное значение напряжения не должно превышать предела текучести материала образца.)

Вычислить значение внутренних силовых факторов:

N = F ; Mx = F × y .

В зависимости от схемы испытания вычислить нормальное напряжение в указанных точках поперечного сечения по формулам (5) или (6). Значение напряжений записать в графу 3 табл. 2.

3.2. Экспериментальная часть

1. Произвести испытание, зафиксировав при заданных значениях нагрузки показание всех трех тензодатчиков по прибору ИДЦ-I.

2. Число измерений по каждому тензодатчику должно составлять не менее пяти. Данные записать в табл. 1.

3.3. Обработка опытных данных

1. Определить приращение показаний каждого тензодатчика

2. Определить среднее значение приращений:

https://pandia.ru/text/78/445/images/image021_18.gif" width="121" height="40 src=">.

7. Сделать выводы по работе.

Лабораторная работа №10

Тема:

Цель работы:

Теоретическое определение напряжений

Опытное определение напряжений

Таблица 1

Нагруз- ка, F , кН	Показания прибора и их приращения

Сравнение теоретических и опытных результатов

Таблица 2

	Нормальные напряжения МПа	% расхождения
опытные значения	теоретические значения
σ I
σ II
σ III

Эпюры напряжений с нанесением нулевой линии

Выводы

Работу выполнил студент:

Контрольные вопросы

1. Как получить деформацию внецентренное сжатие (растяжение)?

2. Из каких простых деформаций состоит сложная деформация внецентренное сжатие (растяжение)?

3. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении внецентренно сжатого бруса?

4. Как определяется их величина?

5. Какое сечение внецентренного сжатого бруса является опасным?

6. Как определить величину напряжений от каждого из внутренних силовых факторов в любой точке поперечного сечения?

7. По каким формулам определяются моменты инерций прямоугольного сечения относительно главных центральных осей инерции? Каковы единицы их измерения?

8. Как определить знак у напряжения от внутренних силовых факторов при внецентренном растяжении (сжатии)?

9. Какая гипотеза положена в основу определения напряжений при внецентренном сжатии? Сформулируйте её.

10. Формула для определения напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном сжатии.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Феодосьев материалов. М.:Изд-во МГТУ, 2000 – 592c.

2. и др. Сопротивление материалов. Киев: Высшая школа, 1986. – 775с.

3. Степин материалов. М.: Высшая школа, 1988. – 367с.

4. Сопротивление материалов. Лабораторный практикум./, и др. М.: Дрофа, 2004. – 352с.

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная (растягивающая или сжимающая) сила и. изгибающий момент; в этом сечении может действовать и поперечная сила.

Внецентренно растянутый или сжатый брус, при расчете которого можно не учитывать дополнительные изгибающие моменты, равные произведениям продольных внешних сил Р на прогибы , называется жестким, а брус, при расчете которого их следует учитывать, - гибким.

Жесткими являются внецентренно сжатые и растянутые брусья, изображенные на рис. 10.9, а, г, д, если наибольшие их прогибы малы по сравнению с расстояниями сил Р от осей брусьев, и брусья, изображенные на рис. 10.9, б, в, в тех случаях, когда произведения малы по сравнению с внешними моментами

Рассмотрим расчет жестких брусьев; метод расчета гибких брусьев изложен ниже в § 5.13.

На рис. 11.9, а изображен жесткий брус; в его верхнем поперечном сечении одновременно действуют продольная сила N и изгибающий момент М, составляющие которого относительно главных осей и у инерции сечения равны Нормальное напряжение в произвольной точке С сечения с координатами у и равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов , т. е.

Продольная сила N и моменты могут рассматриваться как результат воздействия на брус внецентренно приложенной силы

Именно поэтому случай одновременного действия в поперечном сечении продольной силы и изгибающего момента называют внецентренным растяжением (при растягивающей продольной силе) или сжатием (при сжимающей).

Координаты точки А приложения силы Р называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции и у, соответственно:

Точку А приложения силы Р называют центром давления или полюсом.

Подставим в формулу (10.9) выражения [на основании формул (11.9) и рис. 1.9, б]:

Знаки плюс перед всеми членами этой формулы поставлены потому, что положительная продольная сила а также изгибающие моменты (при положительных эксцентриситетах ) вызывают в точках поперечного сечения с положительными координатами у и z растягивающие (положительные) напряжения.

В формулу (12.9) величина растягивающей силы Р подставляется со знаком плюс, а сжимающей - со знаком минус; координаты у и z в эту формулу подставляются со своими знаками. Знак нормальных напряжений, возникающих в какой-либо точке сечения от изгибающего момента вызванного эксцентрично (внецентренно) приложенной силой Р, можно установить также, представив поперечное сечение в виде пластинки, закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью ; пластинка опирается на жесткое основание через систему пружин (рис. 12.9).

Момент от силы Р, показанной, например, на рис. 12.9, вызывает поворот пластинки вокруг оси z, в результате чего пружины, расположенные под заштрихованной частью пластинки, оказываются сжатыми; следовательно, в этой части сечения бруса от момента возникают сжимающие напряжения. Аналогично, для того чтобы установить знак напряжений от момента надо пластинку представить закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью у.

Формула (12.9) служит для определения нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии.

Формулу (12.9) можно представить в следующем виде:

где - радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции гну соответственно.

Следует иметь в виду, что в формулах (10.9)-(14.9) оси у и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения бруса.

Формулы (12.9)-(14.9) удобно использовать, когда известны равнодействующая внутренних усилий в поперечном сечении бруса (т. е. сила Р) и координаты точки ее приложения (полюса). Формулу же (10.9) удобно применять, когда известны внутренние усилия действующие в поперечном сечении.

Варианты эпюр нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии (т. е. при отрицательной силе Р), изображены в аксонометрии на рис. 13.9.

Они ограничены с одной стороны плоскостью поперечного сечения 1-2-3-4, а с другой - плоскостью 1-2-3-4. Ординаты эпюр в центре тяжести сечения (при y = z = 0) равны

Все ординаты эпюры, показанной на рис. 13.9, а, отрицательны, так как плоскость ограничивающая их, не пересекает плоскость 1-2-3-4 в пределах поперечного сечения бруса. Ординаты же эпюры, изображенной на рис. 13.9, б, по одну сторону от прямой отрицательны, а по другую - положительны.

Прямая пп представляет собой линию пересечения плоскости 1-2-3-4 с плоскостью поперечного сечения бруса. Во всех точках, расположенных на прямой пп, напряжения а равны нулю, и, следовательно, эта прямая является нейтральной осью (нулевой линией).

Определим положение нейтральной оси (рис. 14.9). Для этого приравняем нулю правую часть выражения (14.9):

Так как , то

Выражение (15.9) является уравнением прямой (так как координаты у и входят в него в первой степени) и представляет собой уравнение нейтральной оси. Для определения положения нейтральной оси найдем ординату точки В ее пересечения с осью у (рис. 14.9); абсцисса этой точки а потому на основании выражения (15.9)

Абсцисса точки С пересечения нейтральной оси с осью равна (рис. 14.9), а ордината этой точки Подставляя значения в выражение (15.9), находим

Итак, величины отрезков, отсекаемых нейтральной осью (нулевой линией) на осях координат, определяются выражениями:

Из этих выражений следует:

1) положение нулевой линии не зависит от величины и знака силы Р;

2) нулевая линия и полюс лежат по разные стороны от начала координат;

4) если полюс расположен на одной из главных центральных осей инерции, то нулевая линия перпендикулярна этой оси; например, когда полюс расположен на оси , то т. е. нейтральная ось параллельна оси у.

При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси. Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от линии, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 14.9.

Каждая ордината этой эпюры определяет величину нормальных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения, расположенных на прямой DD, проходящей через эту ординату параллельно нейтральной оси. Для построения этой эпюры достаточно определить положение нейтральной оси и вычислить нормальные напряжения в одной из точек поперечного сечения (не расположенной на этой оси), например в центре тяжести сечения. С помощью такой эпюры наиболее просто определяются значения нормальных напряжений в любых точках поперечного сечения.

Расчет на прочность стержня, сжатого или растянутого внецентренно приложенными продольными внешними силами (т. е. при отсутствии поперечных сил), производится наиболее просто, так как в таком случае внутренние усилия одинаковы во всех поперечных сечениях каждого участка стержня. Это исключает необходимость определения опасного поперечного сечения, так как при стержне с постоянными поперечными размерами в пределах каждого участка все сечения одного участка являются равноопасными. При стержне же с переменными поперечными размерами опасным в пределах каждого участка является сечение наименьшего размера.

При наличии в поперечных сечениях стержня поперечных сил изгибающие моменты непрерывно изменяются по длине стержня, а потому определение опасного сечения становится более сложным. Обычно в таких случаях проводят проверку прочности, определяя нормальные напряжения в ряде сечений (которые предположительно могут оказаться опасными) и сопоставляя их с допускаемыми напряжениями.

Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким путем находят точки сечения, расположенные по обе стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нее, которые и могут быть опасными.

Пример.

Для заданной схемы нагружения стержня (рис.52) построить эпюры поперечной силы Q y (z) и изгибающего момента M x (z) при следующих исходных данных: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.

Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента:

Q y (z) = Q y (0) │ 1 – P - q×(z - l) │ 2

M x (z) = M x (0) + Q y (0)×z│ 1 - P×(z - l) - q×(z - l) 2 /2│ 2

В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные условия в следующем виде: M x (0) = - L,

Для нахождения неизвестной реакции Q y (0) необходимо приравнять уравнение изгибающего момента к нулю при координате z = 3l:

M x (3l) = M x (0) + Q y (0)×3l - P×(3l - l) - q×(3l - l) 2 /2 = 0.

Решая это уравнение относительно Q y (0), получим Q y (0) = 21.67кН.

Теперь, учитывая найденные константы, уравнения интегральных характеристик можно переписать в следующем виде:

Q y (z) = 21.67│ 1 – P – q×(z - l) │ 2

M x (z) = -L + 21.67z│ 1 – P×(z - l) – q×(z - l) 2 /2│ 2

Построение графиков будем производить аналогично примеру 1.

1 участок 0 ≤ z ≤ l:

Q y (0) = 21.67 кН,

Q y (l) = 21.67 кН,

M x (0) = -5 кНм,

M x (l) = -5 + 21.67*1 = 16.67 кНм.

2 участок l ≤ z ≤ 3l:

Q y (l) = 21.67 – 10 = 11.67 кН,

Q y (3l) = 21.67 – 10 – 20*(3 - 1) = -28.33 кН,

M x (l) = -5 + 21.67*1 – 10(1 – 1) – 20(1 – 1) = 16.67 кНм,

M x (3l) = -5 + 21.67*3 – 10(3 – 1) – 20(3 – 1) =0 кНм.

Определим координаты экстремума и значения функции изгибающего момента в экстремальной точке:

Q y (z1) = 21.67 – P – q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м.

M x (1.58) = -L + 21.67·1.58 – P (1.58 - l) – q (1.58 - l) 2 /2 = 20.07 кНм.

По рассчитанным значениям строятся графики поперечной силы и изгибающего момента (рис. 52).

При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и остается ей параллельной (рис.53).

Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты (х 0 , у 0). Тогда относительно главных осей равнодействующая сила Р дает моменты:

М х = Р×у 0 ,

М у = - Р×х 0 .

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают не только изгибающие моменты, но и нормальная сила:

В произвольной точке В с координатами (х, у) нормальное напряжение определяется следующим выражением:

Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая напряжения нулю:

При внецентренном растяжении-сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. При положительных х 0 и у 0 по крайней мере одна из величин х или у, входящих в уравнение (100), должна быть отрицательной. Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположенной стороны центра тяжести через квадранты 2,3 и 4 (рис.54).

Расстояние от начала координат до некоторой прямой

как известно из курса аналитической геометрии, равно

Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него.

В пределе при х 0 =у 0 =0, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно.

Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находится за его пределами. В первом случае в сечении возникают и растягивающие и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.

В окрестностях центра тяжести существует область, называемая ядром сечения . Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими. Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения. Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра.

Основные понятия и определения…………………………………………………

Физическая и математическая модель…………………………………………….

Геометрические характеристики сечения…………………………………………

Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей………………………………………………………………….

Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей…

Геометрические характеристики сложных сечений………………………………

Метод сечений. Внутренние силы…………………………………………………

Напряжение. Напряженное состояние в точке тела………………………………

Интегральные характеристики напряжений в точке……………………………..

Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения……………………

Закон парности касательных напряжений………………………………………...

Напряжения на наклонных площадках……………………………………………

Главные площадки и главные напряжения……………………………………….

Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора…..

Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения………………..

Математическая модель механики твердо деформируемого тела………………

Деформированное состояние тела…………………………………………………

Касательные напряжения при кручении………………………………………….

Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского……………………

Теории (гипотезы) прочности………………………………………………………

Растяжение (сжатие) стержней……………………………………………………..

Кручение стержней………………………………………………………………….

Изгиб стержней………………………………………………………………………

Внецентренное растяжение и сжатие………………………………………………

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Наука., 1998. – 512 с.

2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Высш.шк., 1995. – 560 с.

3. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев.: Наукова думка, 1988. – 736 с.

4. Расчет прямых стержней на прочность. Метод.указания. С.А.Девятов, З.Н.Соколовский, Е.П.Степанова.2001.76с.