Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы. Как найти радиус сферы Площадь усеченной сферы
Площадь искривленной поверхности, которую нельзя развернуть на плоскость, вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Потом находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике: площадь поверхности купола получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 17.5). Еще
лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена - примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.
Вычисляя плоскость сферы, описывают вокруг нее близкую к ней многогранную поверхность. Ее грани будут приближенно представлять куски сферы, а ее площадь дает приближенно площадь самой сферы. Ее дальнейшее вычисление основано на следующей лемме.
Лемма. Объем многогранника Р, описанного вокруг сферы радиуса R, и площадь его поверхности связаны соотношением
Замечание: Аналогичным соотношением связаны площадь многоугольника Q, описанного вокруг круга радиуса и его периметр (рис. 17.6):
Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник Р. Пусть у него граней Разобьем Р на пирамиды с общей вершиной в центре О и с гранями в основаниях (рис. 17.7).
Каждая такая грань лежит в касательной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Значит, этот радиус есть высота пирамиды Поэтому ее объем будет:
где - площадь грани Сумма этих площадей дает площадь поверхности многогранника Р, а сумма объемов пирамид - его объем Поэтому
Теорема (о площади сферы). Площадь сферы радиуса R выражается формулой:
Пусть дана сфера радиуса R. Возьмем на ней П точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем через них касательные плоскости к сфере. Эти плоскости ограничат многогранник описанный вокруг сферы. Пусть - объем многогранника - площадь его поверхности, V - объем шара, ограниченного рассматриваемой сферой, и S - ее площадь.
Задача
В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы.
Решение
.
Площадь сферы найдем по формуле:
Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы (180-60) / 2 = 60 , то есть все углы равны).
Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l . То есть
Таким образом площадь сферы
S = 4π(√3/3 l) 2
S = 4/3πl 2
Ответ
: площадь сферы равна 4/3πl 2 .
Задача
Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?
Решение
.
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы.
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус:
L = 2πR
Откуда
R = L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π
Откуда площадь основания равна
S = πR
2
S = π (23/π) 2
S = 529 / π
Площадь сферы найдем по формуле:
S = 4πr 2
Соответственно площадь полусферы
S = 4πr 2 / 2
S = 2π (23/π) 2
S = 1058 / π
Общая площадь поверхности фигуры равна:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π
Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)
1587 / π * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г
Задача
Решение. Рiшення .
Для пояснения решения прокомментируем каждую из приведенных формул
| Для пояснення рішення прокоментуємо кожну з приведених формул
|
|
 | 8. Разделим объемы первого и второго шара друг на друга
9. Сократим получившуюся дробь. Заметим, что соотношение объема двух шаров равно соотношению кубов их радиусов. Учтем выражение, полученное нами ранее в формуле 4 и подставим его. Поскольку корень квадратный - это число в степени 1/2, преобразуем выражение 10. Раскроем скобки и запишем полученное соотношение в виде пропорции. Ответ получен . | 8. Розділимо об"єми першої і другої кулі один на одного
9. Скоротимо дріб, що вийшов. Відмітимо, що співвідношення об"єму двох куль дорівнює співвідношенню кубів їх радіусів. Врахуємо вираження, отримане нами раніше у формулі 4 і підставимо його. Оскільки корінь квадратний - це число в мірі 1/2, перетворимо вираження 10. Розкриємо дужки і запишемо отримане співвідношення у вигляді пропорції. Відповідь отримана . |
Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей .
§ 92. Площадь сферы и ее частей.
Теорема 1. Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле
Сфера радиуса R может быть получена вращением вокруг оси Ох полуокружности, заданной уравнением
у = √R 2 - х 2 , х [- R; R ]
Тогда по формуле для площади поверхности вращения получаем
Аналогично выводится формула для площади сферического пояса, который получается вращением вокруг оси Ох дуги окружности (рис. 276) у = √R 2 - х 2 , х [a; b ].
Действительно,
Теорема 2. Площадь сферического пояса радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле
Формула (3) получается из формулы (2), так как Н = b - а .
Сферический сегмент можно получить вращением дуги окружности
у = √R 2 - х 2 , a < x < R
вокруг оси Ох . Следовательно, сферический сегмент есть частный случай сферического пояса (b = R).
Следствие. Площадь сферического сегмента радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле (3).
3 а д а ч а. В сферу вписан куб с ребром а (рис. 277).
Найти площади:
а) сферы;
б) сферического пояса, отсекаемого плоскостями верхней и нижней граней куба;
а) Диагональ куба с ребром а равна √3 а . Следовательно, | АС 1 | = √3 а . С другой стороны, если R - радиус сферы, то | АС 1 | = 2R. Поэтому 2R = √3 а , т. е. R= √ 3 / 2 a .
По формуле (1) находим площадь S сферы: S = 4πR 2 = 4π 3 / 4 а 2 = 3π а 2 .
б) Высота сферического пояса в данном случае, очевидно, равна а . Положив в формуле (3) Н = а и R = √ 3 / 2 a , найдем площадь S 1 сферического пояса
S 1 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 а 2 = π√3 а 2 .
в) Высота сферического сегмента равна длине отрезка O 1 K. Вычислим ее:
| О 1 К| = |OK| - |OO 1 | = R- a / 2 = √ 3 / 2 a - a / 2 = √ 3 -1 / 2 a
Положив в формуле (3) Н = √ 3 -1 / 2 a и R= √ 3 / 2 a , найдем площадь S 2 сферического сегмента:
S 2 = 2πRH = 2π √ 3 / 2 а √ 3 -1 / 2 a = π 3-√ 3 / 2 a 2
Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.
Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.
Шар
Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.
Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.
Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.
В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.
Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.
Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.
Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.
Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.
Объем шара
Формула для вычисления объема шара имеет вид:
где R — радиус шара.
Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:
V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.
Площадь поверхности шара или сферы
Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):
где R — радиус сферы.
Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»