Как обозначаются вершины многоугольника. Многоугольники и их свойства. Многоугольником называется простая замкнутая

В разделе на вопрос Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? заданный автором Арек Григорян лучший ответ это Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Периметр многоугольника - это сумма длин всех многоугольника.
Источник: Спасибо Яндексу за это

Ответ от Ёоколёнок [гуру]

Ответ от Невролог [новичек]
Ответ ОТРЕЗОК!!!

Ответ от Особь [новичек]
огромное спасибо

Ответ от Простыня [новичек]
многоугольник - фигура имеющая больше 4х углов.
вершина - вершина угла, точка пересечения двух сторон.
сторона - ну собственно - сторона))) такая палочка, из которых он составлен
диагональ - линия проведенная из одного угла в другой
периметр - сумма длин всех сторон

Многоугольник - это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией , не имеющей самопересечений.

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника , а её вершины - вершинами многоугольника .

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :

В пятиугольнике ABCDE точки A , B , C , D и E - это вершины пятиугольника, а отрезки AB , BC , CD , DE и EA - стороны пятиугольника.

Выпуклые и вогнутые

Многоугольник называется выпуклым , если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым :

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром .

Периметр многоугольника ABCDE равен:

AB + BC + CD + DE + EA

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным . Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ

Диагональ многоугольника - это отрезок , соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

t = n - 2

где t - это количество треугольников, а n - количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить .

В Викисловаре есть статья «вершина» Вершина верхняя точка чего либо. Термин вершина может также означать: В топографии … Википедия

ВЕРШИНА - (1) В. конуса точка пересечения образующих конуса; (2) В. многогранника точка, в кото рой сходятся соседние рёбра многогранника; (3) В. многоугольника точка, в которой сходятся две соседние стороны многоугольника; (4) В. параболы точка… … Большая политехническая энциклопедия

ВЕРШИНА, в математике точка, в которой сходятся две стороны треугольника или другого многоугольника, либо пересекаются три и более сторон пирамиды или другого многогранника. Вершиной называют также верхнюю точку конуса … Научно-технический энциклопедический словарь

Построение выпуклой оболочки методом «разделяй и властвуй» алгоритм построения выпуклой оболочки. Содержание 1 Описание 2 Определения 3 Реализация … Википедия

Построение выпуклой оболочки методом «разделяй и властвуй» алгоритм построения выпуклой оболочки. Содержание 1 Описание 2 Определения 3 Реализация 4 Сложность алгоритма … Википедия

Проверка принадлежности данной точки данному многоугольнику На плоскости даны многоугольник и точка. Многоугольник может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Требуется решить вопрос о принадлежности точки многоугольнику. Благодаря тому, что… … Википедия

Часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого… … Энциклопедия Кольера

Дискретная группа голоморфных преобразований (открытого) круга Кна сфере Римана, т. е. круга или полуплоскости на комплексной плоскости. Чаще всего в качестве Кберут верхнюю полуплоскость или единичный круг В первом случае элементы Ф. г. являются … Математическая энциклопедия

На вопрос что такое многоугольник заданный автором Европейский лучший ответ это

Плоская замкнутая ломаная;


Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя - четырёхугольником, с пятью - пятиугольником и т. д.
Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.
Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.
Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон) ;
он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
Правильный многоугольник с самопересечениями называется звёздчатым, например, правильные пятиконечная и восьмиконечная звёзды.
Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.
Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.
Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Ответ от Микроскоп [гуру]
Многоуго́льник - это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная.

Существуют три различных варианта определения многоугольника:
Плоская замкнутая ломаная;
Плоская замкнутая ломаная без самопересечений;
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

В любом случае, вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.

Ответ от Владислав Боровик [новичек]
многоугольник это фигура у которой несколько сторон и углов

Ответ от Бракосочетание [новичек]
много угольник это то где много углов

Ответ от саша сафенрайдер [новичек]
много угольник этото где много углов

Вершинами многоугольника, а отрезки сторонами многоугольника. Вершины многоугольника - страница №1/1

Геометрия 8 класс К.К.Кургинян Часть-1* (со звездочкой).
Многоугольник.

Определение: Многоугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из плоской, замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.

Вершины многоугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями .

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°. Сумма внешних углов многоугольника 360°.

Выпуклый многоугольник.
Многоугольник называется выпуклым если:
Определение I - для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём.

Определение II - каждый внутренний угол меньше 180° .

Определение III - все его диагонали полностью лежат внутри него.

Определение IV – он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сумма углов n -угольника.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)∙180°.
Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n-2)∙180°. (Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники).
Число диагоналей n -угольника.*

Теорема: Число диагоналей всякого n-угольника равно n(n-3)2.

Доказательство: Пусть n - число вершин многоугольника, вычислим p- число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n-3 диагонали; перемножим это на число вершин (n-3)∙n, однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца, следовательно, надо разделить на 2) - отсюда, p= n(n-3)2.

Задача*: в каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше чем сторон?

25+n = nn-32

50 + 2n = n 2 - 3n

n 2 - 5n - 50 = 0

Разложим на множители

n 2 -25-5n -25 = 0

n=-5 не удовлетворяет,

так как не существует

такой многоугольник

n = 10 удовлетворяет

Ответ: Десяти угольник.

Фигуры с равными диагоналями.*

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой - это квадрат и правильный пятиугольник (пентагон) . У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

В пространстве существует единственный правильный многогранник (не многоугольник ), у которого все диагонали равны между собой - это правильный восьмигранник (октаэдр) . У октаэдра три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра - пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой - это куб (гексаэдр), помимо пространственных у куба есть диагонали граней . У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые пересекаются в центре. Угол между диагоналями куба составляет либо arccos (1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos (–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

Четырехугольники.
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

Две несмежные стороны называются противоположными.

Две не соседние вершины называются противоположными.
1.Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
1) Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=DC, AD=BC.

2) Противоположные углы параллелограмма равны. A=C, B=D.

3) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD.

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.

5) Сумма всех углов равна 360°. A+B+C+D=360°.

6)* Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2).

Задача 1*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна AC=9 см, а стороны AD=7 см и AB=4 см.

Решение: Подставив значения в формулу получим:

81+BD 2 =2∙(49+16),

BD 2 =49, следовательно вторая диагональ равна BD=7 см. Ответ: 7 см.
Задача 2*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна BD=10 см, а стороны AD=8 см и AB=2 см.

Решение: Условия задачи не верно, так как сумма двух сторон треугольника всегда больше третей стороны. Ответ: задача не имеет решений (смысла).

Задача 3*: а)Найти сторону параллелограмма, если известно, что длина диагоналей равна BD=6 см, AC=8, а одна сторона AB=5 см. б)Как называется этот параллелограмм.
Задача 4**: Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см, а произведение 32 найдите значение суммы квадратов всех его сторон.
Задача 5**: Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого 6 см и 8 см.

Решение: Докажем, что среди всех параллелограммов с данными длинами диагоналей наибольший периметр имеет ромб .

Действительно, пусть a и b – длины соседних сторон параллелограмма, а и – длины его диагоналей (см. рис. 2). Тогда периметр параллелограмма: P = 2(a + b ).

Из равенства, выражающего теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, следует, что у всех параллелограммов с данными диагоналями сумма квадратов сторон есть величина постоянная.

По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным:  , причем равенство достигается т. и т. т., когда a = b . Значит, параллелограмм с наибольшим периметром является ромбом. Находим сторону этого ромба: =5(см). Ответ: 20 см.

2.Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Определение 2: это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Определение 3: это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Определение 4: это параллелограмм, у которого углы равны.
Свойства прямоугольника: +
1) Диагонали прямоугольника равны.

2)* Квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон. AC 2 =AB 2 +DC 2

Задача 1: Меньшая сторона прямоугольника равна 5см, диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.
Задача 2: Меньшая сторона прямоугольника равна 24, диагонали пересекаются под углом 120°. Найдите диагонали и большую сторону прямоугольника.
Задача 3*: Сторона прямоугольника равна 3 см, диагональ 5 см. Найдите другую сторону прямоугольника.
Задача 4*: Сторона прямоугольника равна 6 см, диагональ 10 см. Найдите площадь прямоугольника.

3.Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Определение 2: это четырёхугольник, у которого все стороны равны.
Свойства ромба: те же свойства, что и у параллелограмма +
1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).

2) Диагонали ромба делят его углы пополам (то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠CDB).

3)*Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма). AC 2 +BD 2 =4·AB 2
Задача 1: Диагонали ромба 6 и 8 см. Найти сторону ромба.
Задача 2: Сторона ромба 10 см, один из углов 60. Найти маленькую диагональ ромба.
4.Квадрат -это параллелограмм, у которого все углы равны 90 и все стороны равны.
Определение 2: это параллелограмм, у которого все углы и стороны равны между собой.

Определение 3: это четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны между собой.

Определение 4: это ромб, у которого один угол прямой.

Определение 5: это ромб, у которого углы равны.

Определение 6: это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата: те же свойства, что и у параллелограмма +
1) Диагонали квадрата равны.

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам (то есть диагонали квадрата являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠CDB=45).

4)* Квадрат диагонали равен удвоенному квадрату стороны. AC 2 =2·AB 2

5.Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями, а две другие боковыми.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если один из его углов прямой.
Задача: Докажите, что трапеция не может одновременно быть и прямоугольной и равнобедренной.