Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А , а проекцию а? на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией .

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С . Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с … Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а?, b?, с? …

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций – арабскими цифрами 1, 2… и 1?, 2?…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки .

Через перпендикулярные прямые Аа и Аа? проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аа х, а фронтальную плоскость – по прямой а?а х. Прямые аах и а?а х являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха? является прямоугольником.

При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а? будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аа х и а?а х не нарушится.

Получаем, что на эпюре проекции а и а? некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.

Две проекции а и а? некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а? к фронтальной плоскости пройдет через точку А , т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.

Рассмотрим прямоугольник Aaa х а? (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:

1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа? = аа х;

2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а? от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа = а?а х.

Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.

Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти – переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость – на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.

При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости – с верхней частью фронтальной плоскости.

На рисунках 8-11 показаны точки А, В, С, D, располагающиеся в различных четвертях пространства. Точка А расположена в первой четверти, точка В – во второй, точка С – в третьей и точка D – в четвертой.

При расположении точек в первой или четвертой четвертях их горизонтальные проекции находятся на передней части горизонтальной плоскости, а на эпюре они лягут ниже оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена во второй или третьей четверти, ее горизонтальная проекция будет лежать на задней части горизонтальной плоскости, а на эпюре будет находиться выше оси пересечения плоскостей.

Фронтальные проекции точек, которые расположены в первой или второй четвертях, будут лежать на верхней части фронтальной плоскости, а на эпюре будут находиться выше оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена в третьей или четвертой четверти, ее фронтальная проекция – ниже оси пересечения плоскостей.

Чаще всего при реальных построениях фигуру располагают в первой четверти пространства.

В некоторых частных случаях точка (Е ) может лежать на горизонтальной плоскости (рис. 12). В этом случае ее горизонтальная проекция е и сама точка будут совпадать. Фронтальная проекция такой точки будет находиться на оси пересечения плоскостей.

В случае, когда точка К лежит на фронтальной плоскости (рис. 13), ее горизонтальная проекция k лежит на оси пересечения плоскостей, а фронтальная k? показывает фактическое местонахождение этой точки.

Для подобных точек признаком того, что она лежит на одной из плоскостей проекций, служит то, что одна ее проекция находится на оси пересечения плоскостей.

Если точка лежит на оси пересечения плоскостей проекций, она и обе ее проекции совпадают.

Когда точка не лежит на плоскостях проекций, она называется точкой общего положения . В дальнейшем, если нет особых отметок, рассматриваемая точка является точкой общего положения.

2. Отсутствие оси проекций

Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между проекциями. Линия сгиба будет изображать ось пересечения плоскостей. Если после этого согнутый кусок бумаги вновь расправить, получим эпюр, похожий на тот, что изображен на рисунке.

Совмещая две плоскости проекций с плоскостью чертежа, можно не показывать линию сгиба, т. е. не проводить на эпюре ось пересечения плоскостей.

При построениях на эпюре всегда следует располагать проекции а и а? точки А на одной вертикальной прямой (рис. 14), которая перпендикулярна оси пересечения плоскостей. Поэтому, даже если положение оси пересечения плоскостей остается неопределенным, но ее направление определено, ось пересечения плоскостей может находиться на эпюре только перпендикулярно прямой аа? .

Если на эпюре точки нет оси проекций, как на первом рисунке 14 а, можно представить положение этой точки в пространстве. Для этого проведем в любом месте перпендикулярно прямой аа? ось проекции, как на втором рисунке (рис. 14) и согнем чертеж по этой оси. Если восстановить перпендикуляры в точках а и а? до их пересечения, можно получить точку А . При изменении положения оси проекций получаются различные положения точки относительно плоскостей проекций, но неопределенность положения оси проекций не влияет на взаимное расположение нескольких точек или фигур в пространстве.

3. Проекции точки на три плоскости проекций

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной .

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х , общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у , а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z . Точка О , которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а?? ) называют профильной проекцией и обозначают а?? .

Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а , необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х , а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.

На рисунке 16 изображено положение проекций а, а? и а?? точки А , полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.

В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х ), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z ).

На рисунке 16 три проекции а, а? и а?? точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:

а и а? всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х ;

а? и а?? всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z ;

3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а?? – вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оа у а 0 а н – квадрат.

При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.

4. Координаты точки

Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами . Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости проекций.

Расстояние определяемой точки А до профильной плоскости является координатой х , при этом х = а?А (рис. 15), расстояние до фронтальной плоскости – координатой у, причем у = а?А , а расстояние до горизонтальной плоскости – координатой z , при этом z = aA .

На рисунке 15 точка А занимает ширину прямоугольного параллелепипеда, и измерения этого параллелепипеда соответствуют координатам этой точки, т. е., каждая из координат представлена на рисунке 15 четыре раза, т. е.:

х = а?А = Оа х = а у а = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = а x а? = а y а?.

На эпюре (рис. 16) координаты х и z встречаются по три раза:

х = а z а?= Оа x = а y а,

z = а x a? = Oa z = а y а?.

Все отрезки, которые соответствуют координате х (или z ), являются параллельными между собой. Координата у два раза представлена осью, расположенной вертикально:

y = Оа у = а х а

и два раза – расположенной горизонтально:

у = Оа у = а z а?.

Данное различие появилось из-за того, что ось у присутствует на эпюре в двух различных положениях.

Следует учесть, что положение каждой проекции определяется на эпюре только двумя координатами, а именно:

1) горизонтальной – координатами х и у ,

2) фронтальной – координатами x и z ,

3) профильной – координатами у и z .

Используя координаты х, у и z , можно построить проекции точки на эпюре.

Если точка А задается координатами, их запись определяется так: А (х; у; z ).

При построении проекций точки А нужно проверять выполняемость следующих условий:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а? х х ;

2) фронтальная и профильная проекции а? и а? должны располагаться на одном перпендикуляре к оси z , так как имеют общую координату z ;

3) горизонтальная проекция а так же удалена от оси х , как и профильная проекция а удалена от оси z , так как проекции а? и а? имеют общую координату у .

В случае, если точка лежит в любой из плоскостей проекций, то одна из ее координат равна нулю.

Когда точка лежит на оси проекций, две ее координаты равны нулю.

Если точка лежит в начале координат, все три ее координаты равны нулю.

Процесс получения изображения на плоскости называетсяпроецированием. Как же получаются проекции?

Возьмем в пространстве произвольную точку А и какую-нибудь плоскость Н . Проведем через точку А прямую до пересечения с плоскостью Н , полученная точка а пересечения линии и плоскости есть проекция точки А . Плоскость, на которой получается проекция, называется плоскостью проекций. Прямая Аа называется проецирующим лучом (рис. 35).

Рис. 35. Проецирование луча на плоскость

Следовательно, чтобы построить проекцию какой-либо фигуры на плоскости, необходимо через точки этой фигуры провести воображаемые проецирующие лучи до их пересечения с плоскостью. Слово проекция – латинское, в переводе на русский язык означает «отбрасывать вперед».

Точки, взятые на предмете обозначают прописными буквами А, В, С , а их проекции – строчными а, в, с .

Если проецирующие лучи исходят из одной точки, такоепроецирование называетсяцентральным. Точка S, из которой исходят лучи, называетсяцентральной (рис. 36).

Рис. 36. Центральное проецирование

Примерами центральной проекции являются фотографии, кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электрической лампочки.

Если проецирующие лучи параллельны друг другу, топроецирование называется параллельным, а полученная проекция– параллельной. Примером параллельной проекции можно условно считать солнечные тени от предметов.

При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одинаковым углом. Если это любой острый угол, то проецирование называется косоугольным (рис. 37).

Рис. 37. Параллельное проецирование

В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции,проецирование называется прямоугольным. Полученная при этом проекция называется прямоугольной (рис. 38).

Рис. 38. Прямоугольное проецирование

Из всех рассмотренных способов проецирования в основе построения изображения лежит способ прямоугольного проецирования , так как полученное изображение на плоскости проецируется без искажения.

В пространстве плоскость проекций может располагаться как угодно: вертикально, горизонтально, наклонно.

Чтобы получить проекцию предмета на плоскости, его располагают параллельно этой плоскости и через каждую вершину проводят лучи перпендикулярно этой плоскости проекций.

Рассмотрим построение проекции предмета, изображенного на рис. 39 на плоскость.

Рис. 39. Проецирование на фронтальную плоскость проекций

Выберем вертикальную плоскость проекции, расположенную перед зрителем. Эту плоскость называют фронтальной (от французского слова «фронталь », что означает «лицом к зрителю » и обозначают буквой V(ве).

Мысленно рассмотрим предмет параллельно фронтальной плоскости и через все точки проведем проецирующие лучи перпендикулярно плоскости V. Отметим точки пересечения лучей с плоскостью и соединим прямыми, а точки окружности - кривой линией. Мы получим проекцию предмета на плоскости, которую называют фронтальной проекцией (рис. 40).

Рис. 40. Фронтальная проекция

По полученной проекции можно судить лишь о двух измерениях – высоте, длине и о диаметре отверстия.

А какова ширина предмета? Пользуясь полученной проекцией, мы этого сказать не можем. Значит, одна проекция не выявляет третьего измерения предмета, кроме того, одна проекция не всегда определяет геометрическую форму предмета (рис. 41).

Рис. 41. Неоднозначность выявления формы предмета одной проекцией:

а – фронтальная проекция; б, в – возможная форма предмета

Фронтальная проекция, показанная на рис. 42, соответствует всем деталям.

Рис. 42. Проекции на фронтальную и горизонтальные плоскости проекций

Для того, чтобы определить форму предмета необходимо построить вторую проекцию на плоскость, которая называется горизонтальной плоскостью и обозначается буквой Н (аш). Проекция предмета на эту плоскость называется горизонтальной проекцией.

Горизонтальная плоскость расположена под углом 90 0 к фронтальной. Плоскость V и Н пересекаются по оси ОХ, (О – точка пересечения осей), которая называется осью проекции. По горизонтальной проекции можно определить длину и ширину детали.

Изображения предмета выполняются в одной плоскости, поэтому для получения чертежа предмета обе плоскости совмещают в одну, развернув горизонтальную плоскость вокруг оси ОХ вниз на 90 0 так, чтобы она совпала с фронтальной плоскостью (см. рис. 42).

Границы плоскости на чертеже не показывают, а также ось проекций, если в том нет необходимости (рис. 43).

Рис. 43. Расположение фронтальной и горизонтальной проекции на чертеже

Горизонтальная проекция располагается строго под фронтальной проекцией. Расположение между проекциями выбирают произвольно, предусматривая при этом место для нанесения размеров.

2.2. Проецирование на три плоскости проекций. Виды.
Расположение видов на чертеже

Зачастую даже две проекции детали не дают полного представления о ее геометрической форме (рис. 44).

в

б

а

Рис. 44. Примеры неоднозначного выявления формы детали с помощью двух проекций

Данному чертежу соответствуют несколько деталей, поэтому возникает необходимость построения третьей проекции на плоскость. Эту плоскость располагают перпендикулярно плоскости проекции V и Н.

Третью плоскость проекций называют профильной , а полученную на ней проекцию – профильной проекцией предмета.

Обозначается профильная плоскость буквой W (дубль - ве). Профильная плоскость проекций вертикальная, в пересечении с плоскостью Н она образует ось ОY, а с плоскостью V – ось ОZ. Профильная проекция располагается справа от фронтальной проекции на одной с ней высоте
(рис. 45 а , б ) Плоскости V,H,W образуют трехгранный угол . Проецируемый предмет поместим в пространство трехгранного угла и через все точки предмета проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостями проекций. Соединим точки пересечения прямыми или кривыми линиями, полученные фигуры будут проекциями предмета на плоскостях V,Н,W (рис. 45, б ).

Рис. 45. Проекции предмета на три плоскости проекций V, Н, W

Проецируемый предмет помещен в пространство трехгранного угла а ) проекции предмета на плоскостях V, Н, W.

Для получения чертежа предмета плоскости V,H,W совмещают в одну плоскость, развернув плоскость W на 90 0 вправо, а Н – на 90 0 вниз (рис. 46, б ). Границы плоскостей, оси проекций и проецирующие лучи на чертеже не показывают (рис. 46, в, г ).

б

а

г

в

Рис. 46. Расположение плоскостей проекций и осей на плоскости:

а – трехгранный угол, образованный плоскостями V, H, W; б – процесс совмещения плоскостей
3-хгранного угла с плоскостью чертежного листа; в - расположение плоскостей проекции на плоскости чертежного листа; г – расположение осей на плоскости чертежного листа

Рассмотрев процесс проецирования на три плоскости проекций, можно сделать вывод, что проецирование проводят в следующей последовательности:

Предмет в системе плоскостей проекций V, H, W;

Проецирующие лучи перпендикулярны V и направляются спереди, получается фронтальная проекция;

Лучи перпендикулярны Н и направляются сверху, получается горизонтальная проекция;

Лучи перпендикулярны W и направляются слева, получается профильная проекция;

Совмещаем V, H, W в одну плоскость.

Чертеж, состоящий из нескольких прямоугольных проекций называюткомплексным чертежом или чертежом в системе прямоугольных проекций.

Если чертеж построен с осями координат, он называется осным чертежом, а если без осей, он называется безосным . Все проекции на чертеже находятся в проекционной связи, которая осуществляется посредством линий связи (рис. 47).

Рис. 47. Построение профильной проекции предмета по двум данным

Вам уже известно, что правила оформления и построения чертежей установлены стандартами ЕСКД. Один из стандартов этой системы устанавливает правила изображения предметов на чертежах, в нем даны определения различных изображений, применяемых при выполнении чертежей.

На технических чертежах проекции на плоскостях называют видами .

Вид – это изображение обращенной к наблюдателю видимой части предмета. В том же стандарте говорится, что предмет располагают относительно фронтальной плоскости так, чтобы изображение на ней давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета. Поэтому изображение на фронтальной плоскости называют главным видом или видом спереди.

Изображение на горизонтальной плоскости называют видом сверху.

Изображение на профильной плоскости называют видом слева (рис. 48).

Рис. 48. Расположение на плоскостях проекций видов детали

Вид сверху располагается под главным видом, а справа от главного вида и на одной с ним высоте – вид слева.

Невидимые части предмета на видах показывают штриховыми линиями.

Количество видов на чертеже должно быть минимальным, но достаточным для того, чтобы понять форму изображенного предмета. Виды также как и проекции располагаются в одной проекционной связи друг с другом.

2.3. Геометрические тела и их проекции.
Проекции вершин, ребер, граней на плоскости.
Проекции группы геометрических тел

Формы деталей, встречающихся в технике, представляют собой сочетание различных геометрических тел или их частей.

Чтобы научиться представлять форму предмета по чертежу, нужно знать, как изображаются на чертежах геометрические тела.

Геометрическое тело – это замкнутая часть пространства, ограниченная плоскостями или кривыми поверхностями.

Все геометрические тела подразделяются на многогранники (куб, параллелепипед, призмы, пирамиды) и тела вращения (цилиндр, шар, конус).

Геометрические тела состоят из определенных элементов – вершины, ребра, грани (рис. 49).

Рис. 49. Элементы геометрических тел

Ребра, расположенные перпендикулярно плоскостям проекции, проецируются на них в точку .

Ребра, расположенные параллельно плоскостям проекций, проецируются на них в натуральную величину.

Грани, перпендикулярные плоскостям проекций, проецируются в отрезки прямой.

Грани, параллельные плоскостям проекций, проецируются в натуральную величину .

Грани и ребра, наклоненные к плоскостям проекций, проецируются на них с искажением.

Строя чертеж, надо четко представлять, как изобразится на нем каждая вершина, ребро и грань предмета. Следует помнить, что каждый вид - это изображение всего предмета, а не одной его стороны. Разница заключается лишь в том, что одни грани проецируется в истинную фигуру, другие - в отрезки прямых (рис. 50).

Рис. 50. Проецирование граней и ребер геометрических тел на плоскости проекций

Проекциями геометрических тел являются плоские геометрические фигуры .

Рассмотрим основные геометрические тела и их проекции.

Проекциями куба являются три равных квадрата, призмы – два прямоугольника и многоугольник; пирамиды - два треугольника и многоугольник; усеченной пирамиды – две трапеции и многоугольник; конуса – два треугольника и окружность; усеченного конуса - две трапеции и окружность; шара – три окружности, цилиндра – два прямоугольника и окружность (рис. 51).

а - четырехгранная призма б - трехгранная призма в - четырехгранная пирамида

г - 4-х гранная усеченная пирамида д - конус

е - конус ж - шар

Рис. 51. Проекции геометрических тел на плоскости проекций

Рассмотрим чертеж группы геометрических тел (рис. 52).

Рис. 52. Проекция группы геометрических тел на три плоскости проекций

Группа состоит из трех геометрических тел. Первое геометрическое тело на плоскостях V и W изображено треугольником, а на плоскости Н – кругом . Такие проекции имеет только конус. Второе геометрическое тело на плоскостях Н и W представлено двумя прямоугольниками , а на фронтальной плоскости - окружностью . Такие проекции имеет цилиндр . Третье геометрическое тело на всех плоскостях представлено прямоугольниками, значит это параллелепипед .

Таким образом можно сделать вывод, что на чертеже представлена группа геометрических тел , состоящая из конуса , цилиндра и параллелепипеда . Чтобы определить, какое из геометрических тел находится ближе к нам, надо рассмотреть вид сверху . На основании анализа приходим к выводу, что ближе к нам находятся параллелепипед и цилиндр .

2.4. Анализ геометрической формы предмета.
Проекции точек, лежащих на поверхности геометрических тел и предметов

Вы уже знаете, что окружающие нас предметы, детали машин и механизмов имеют форму геометрических тел или их сочетания.

Рассмотрим рис. 53. Здесь изображены различные детали, одни простой формы, другие более сложной формы.

Как же определить форму предмета по чертежу? Для этого сложную по форме деталь мысленно расчленяют на отдельные части, имеющие форму геометрических тел.

Рис. 53. Детали состоящие из сочетания простых геометрических тел

Например на рис. 54. дано изображение детали. Она слагается из параллелепипеда , двух полуцилиндров и усеченного конуса . В детали имеется отверстие цилиндрической формы.

Рис. 54. Анализ геометрической формы опоры:

а – изображение опоры; б - составные части опоры

Мысленное расчленение предмета на составляющие его геометрические тела называется анализом геометрической формы .

Любая точка на изображении геометрических тел является проекцией того или иного элемента – вершины, ребра, грани, кривой поверхности.

Значит, изображение любого геометрического тела сводится к изображению его вершин, ребер, граней и кривых поверхностей.

Рассмотрим процесс построения проекций точек на чертежах геометрических тел и деталей.

Работа осуществляется в следующей последовательности:

Устанавливают грань многогранника или часть поверхности вращения, на которой задана проекция точки, и определяют видимость этой части геометрического тела на всех видах (рис. 55, а );

Через заданную проекцию точки проводят проекцию вспомогательной прямой, строят ее и проекцию точки на том виде, где проекция геометрического тела совместилась с проекцией его основания (рис. 55, б );

Строят проекцию вспомогательной прямой и находят на ней искомую проекцию заданной точки (рис. 55, в ).

в)

б)

а)

Рис. 55. Пример построения проекции точки на заданной поверхности геометрических тел

Если нужно построить проекции точек на поверхности предмета, представленной чертежом, то:

Проводят анализ геометрической формы;

Устанавливают геометрические тела, на поверхности которых заданы точки;

Определяют проекцию точек поочередно на каждом геометрическом теле.

На детали точки обозначаются прописными буквами А, В, С , а их проекции - строчными, например, проекции точки А на плоскостях Н-а, V-а ′ , W-а″, невидимые точки з аключаются в скобки, например, V-(а′), Н-(а), W-(а″).

2.5. Порядок чтения и построения чертежа детали.
Построение третьего вида по двум заданным

Чтобы познакомиться с устройством какого-либо изделия, необходимо прочитать его чертеж.

Чертеж читают в следующей последовательности:

Определить, какие виды детали даны на чертеже;

Определить геометрическую форму детали;

Определить габаритные размеры детали и ее элементов;

Рассмотрим пример чтения чертежа детали (рис. 56).

Рис. 56. Чертеж направляющей

Вопросы к чертежу

1. Как называется деталь?

2. Из какого материала ее изготовляют?

3. В каком масштабе выполнен чертеж?

4. Какие виды даны на чертеже?

5. Сочетанием каких геометрических тел определяется форма детали?

6. Чему равны габаритные размеры?

Ответы на вопросы

1. Деталь называется «направляющая».

2. Изготовляют деталь из стали.

3. Масштаб 1:1.

4. На чертеже даны два вида; главный вид и вид слева.

5. Выделив части детали, рассмотрим их слева направо, сопоставляя оба вида.

Крайняя левая часть на главном виде имеет форму прямоугольника, а на виде слева – окружность. Значит это цилиндр.

Вторая слева часть на главном виде – трапеция, на виде слева – две о кружности, это усеченный конус . Третья часть на главном виде показана прямоугольником, а на виде слева – окружность , значит это цилиндр . Четвертая часть на главном виде – прямоугольник , а на виде слева – шестиугольник , значит это шестигранная призма . Крайняя слева часть на главном виде – прямоугольник , а на виде слева - окружность , это цилиндр . Штриховые линии на главном виде и окружность ø 20 на виде слева говорит о том, что деталь имеет сквозное цилиндрическое отверстие.

6. Габаритные размеры детали 160х90х90.

Многие технические детали имеют разнообразные технологические и конструктивные элементы, которые имеют свои названия (рис. 57).

Отверстия

Рис. 57. Название конструктивных элементов деталей

Отверстие – сквозной или глухой элемент детали, имеющий форму геометрического тела.

Паз – узкая щель или выемка.

Вырез – удаление части детали двумя или большим количеством плоскостей.

Срез – удаление части детали одной плоскостью.

Ребро (ребро жесткости) – тонкая стенка, предназначенная для усиления жесткости конструкции.

Прежде чем приступить к построению изображений, надо четко представить геометрическую форму детали.

Рассмотрим последовательность построения видов на чертеже (рис. 58).

Рис. 58. Наглядное изображение опоры

Общая форма предмета, изображенного на рис. 58 – параллелепипед. В нем сделаны прямоугольные вырезы и вырез в виде треугольной призмы. Изображать деталь начнем с ее общей формы – параллелепипеда (рис. 59).

Рис. 59. Пример последовательности построения видов детали:

а – изображение общих видов детали; б – построение вырезов; в – нанесение размеров

Спроецировав параллелепипед на плоскости V,H,W, получим прямоугольники на всех трех плоскостях (рис. 59, а ).

Все построения выполняются сначала тонкими линиями. Поскольку деталь симметрична, на главном виде и виде сверху нанесем оси симметрии.

Теперь покажем вырезы. Их целесообразнее показать сначала на главном виде.

Для этого надо отложить по 12 мм влево и вправо от оси симметрии и провести через полученные точки вертикальные линии. Затем на расстоянии 14 мм от верхней границы проводим отрезки горизонтальных прямых (рис. 59, б ).

Построим проекции этих вырезов на других видах. Это можно сделать при помощи линий связи. После этого на видах сверху и слева нужно показать отрезки, ограничивающие проекции видов.

В заключении обводят чертеж и наносят размеры (рис. 59, в ).

В черчении довольно часто встречаются задачи, связанные с построением по двум заданным видам третьего.

Рассмотрим последовательность построения третьего вида по двум заданным (рис. 60).

Рис. 60. Чертеж бруска с вырезом

На рис. 60 вы видите изображение бруска с вырезом. Даны два вида: спереди и сверху, требуется построить вид слева. Для этого необходимо сначала представить форму изображенной детали. Сопоставив виды, определяем, что брусок имеет форму параллелепипеда размером 10х35х20 мм. В параллелепипеде сделан вырез прямоугольной формы размером 12х12х10 мм.

На виде спереди с помощью линий связи проводим две горизонтальные линии, одну на уровне нижнего основания параллелепипеда, другую – на уровне верхнего основания. Эти линии ограничивают высоту вида слева. В любом месте между горизонтальными линиями проводим вертикальную линию (рис. 61).

а)

г)

в)

б)

Рис. 61. Последовательность построения третьей проекции

Она будет проекцией задней грани бруска на профильную плоскость проекций (рис. 61, а ). От нее вправо отложим отрезок, равный 20 мм, т.е. ширину бруска, и проведем еще одну вертикальную линию – проекцию передней грани (рис. 61, б ).

Покажем теперь на виде слева вырез в детали. Для этого отложим влево от правой вертикальной линии, являющейся проекцией передней грани бруска, отрезок 12 мм и проведем еще одну вертикальную линию (рис. 61, в ).

После этого удаляем все вспомогательные линии построения и обводим чертеж (рис. 61, г ).

Пусть необходимо построить прямоугольную проекцию предмета, заданного на рисунке 43. Выберем вертикальную плоскость проекций (обозначив ее буквой V). Такую плоскость, расположенную перед зрителем, называют фронтальной (от французского слова «фронталь». что означает «лицом к зрителю»). Будем теперь строить проекцию предмета на эту плоскость, рассматривая предмет спереди. Для этого мысленно проведем через некоторые точки, например вершины предмета и точки отверстия, проецирующие лучи, перпендикулярные к плоскости проекций V (рис. 43. а). Отметим точки пересечения их с плоскостью и соединим прямыми, а точки окружности - кривой линией. Мы получим проекцию предмета на плоскости.

Рис. 43. Проецирование на одну плоскость проекций

Заметьте, что предмет был расположен перед плоскостью проекций так, что две его поверхности оказались параллельными этой плоскости и спроецировались без искажения. По полученной проекции мы сможем судить лишь о двух измерениях предмета в данном случае - высоте и ширине и о диаметре отверстия (рис. 43. б). А какова толщина предмета? Пользуясь полученной проекцией, мы этого сказать не можем. Значит, одна проекция не выявляет третьего измерения предмета. Чтобы по такому изображению можно было полностью судить о форме детали, его иногда дополняют указанием толщины (s) детали, как на рисунке 44. Так поступают, если предмет несложной формы, не имеет выступов, впадин и пр., т. е. его условно можно считать плоским. Примеры чертежей деталей, содержащих одну прямоугольную проекцию, вы видели на рисунках 34 и 36.

Рис. 44. Чертеж детали

4.2. Проецирование на несколько плоскостей проекций . Одна проекция не всегда однозначно определяет геометрическую форму предмета. Например, по одной проекции, данной на рисунке 45, а, можно представить предметы такими, как они показаны на рисунке 45, б и в. Можно мысленно подобрать и другие предметы, которые также будут иметь своей проекцией изображение, данное на рисунке 45, а. Кроме того, как мы выяснили, на таком изображении не отражено третье измерение предмета.

Рис. 45. Неопределенность формы предмета на изображении

Все эти недостатки можно устранить, если построить не одну, а две прямоугольные проекции предмета на две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 46): фронтальную и горизонтальную (ее обозначают буквой H).

Рис. 46. Проецирование на две плоскости проекций

Чтобы получить проекцию на фронтальной плоскости V, предмет рассматривают спереди, а на горизонтальной плоскости H - сверху.

Линию пересечения этих плоскостей (она обозначена X) называют осью проекций (рис. 46. б).

Построенные проекции оказались расположенными в пространстве в разных плоскостях (горизонтальной и вертикальной). Изображения же предмета обычно выполняют на одном листе, т. е. в одной плоскости. Поэтому для получения чертежа предмета обе плоскости совмещают в одну. Для этого поворачивают горизонтальную плоскость проекций вокруг оси Х вниз на 90° так, чтобы она совпала с вертикальной плоскостью. Обе проекции окажутся расположенными в одной плоскости (рис. 47).

Рис. 47. Две проекции предмета

Границы плоскостей проекций на чертеже можно не показывать, не наносят также и проекции проецирующих лучей и линию пересечения плоскостей проекций, т. е. ось проекций, если в этом нет необходимости.

На совмещенных плоскостях фронтальная и горизонтальная проекции предмета располагаются в проекционной связи, т. е. горизонтальная проекция будет находиться точно под фронтальном.

Рис. 48. Неопределенность формы предмета на изображении

Обратите внимание, что нижний выступ предмета оказался невидимым на горизонтальной проекции, поэтому он показан штриховыми линиями.

Рассмотрим еще один пример. По рисунку 48 мы легко представим общую форму детали. Но форма выемки в вертикальной части остается невыявленной. Чтобы увидеть, какая она, надо построить проекцию еще на одну плоскость. Ее располагают перпендикулярно плоскостям проекций H и V.

Рис. 49. Проецирование на три плоскости проекций

Третью плоскость проекций называют профильной , а полученную на ней проекцию - профильной проекцией предмета (от французского слова «профиль», что означает «вид сбоку»). Ее обозначают буквой W (рис. 49, а). Проецируемый предмет помещают в пространстве трехгранного угла, образованного плоскостями V, Н и W. и рассматривают с трех сторон - спереди, сверху и слева. Через характерные точки предмета проводят проецирующие лучи до пересечения с плоскостями проекций. Точки пересечения соединяют прямыми или кривыми линиями. Полученные фигуры будут проекциями предмета на плоскостях V, Н и W.

Профильная плоскость проекций вертикальная. В пересечении с плоскостью H она образует ось у, а с плоскостью V - ось z.

Для получения чертежа предмета плоскость W поворачивают на 90° вправо, а плоскость H на 90° вниз (рис. 49, б). Полученный таким образом чертеж содержит три прямоугольные проекции предмета (рис. 50, а): фронтальную, горизонтальную и профильную. Оси проекций и проецирующие лучи на чертеже здесь также не показывают (рис. 50. б).

Рис. 50. Три проекции предмета

Профильную проекцию располагают в проекционной связи с фронтальной, справа от нее на одной высоте.

Чертеж, состоящий из нескольких прямоугольных проекций, называют чертежом в системе прямоугольных проекций . В зависимости от сложности геометрической формы предмета он может быть представлен одной, двумя и более проекциями.

Способ прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости был разработан французским ученым-геометром Гаспаром Монжем в конце XVIII в. Поэтому такой способ часто называют способом (методом) Монжа. Г. Монж положил начало развитию науки об изображении предметов - начертательной геометрии. Начертательная геометрия является теоретической основой черчения

Рис. 51. Задание для упражнений

1. Всегда ли достаточно на чертеже одной проекции предмета?
2. Как называются плоскости проекций? Как они обозначаются?
3. Как называются проекции, полученные при проецировании предмета на три плоскости проекций? Как должны располагаться эти плоскости относительно друг друга?

На рисунке 51 дано наглядное изображение и чертеж детали - угольника. На наглядном изображении стрелками показаны направления проецирования. Проекции детали обозначены цифрами 1, 2, 3, Вам надо, не перечерчивая чертеж, записать в рабочей тетради: а) какой проекции (обозначенной цифрой) соответствует каждое направление проецирования (обозначенное буквой); б) названия проекций 1, 2 и 3.

Проецирование на одну плоскость проекций. Как вы уже знаете, для построения проекции предмета сначала через все его точки мысленно проводят проецирующие лучи. Затем отмечают точки пересечения этих лучей с плоскостью проекций и соединяют их прямыми или кривыми линиями.

Расположим предмет перед плоскостью проекций так, чтобы при проецировании на получившемся изображении были видны три его стороны (рис. 36). Рассматривая эти изображения, легко представить пространственный образ предмета.
Такое проецирование в черчении используют для построения наглядных изображений.
Наглядные изображения могут быть получены как в результате прямоугольного так и косоугольного параллельного проецирования
Однако на наглядных изображениях предметы получают большие искажения Например. круглые части проецируются в эллиптические, прямые углы в тупые и острые. Изменяются и некоторые размеры предмета. Поэтому такие изображения в практике применяют редко.

Расположим предмет перед плоскостью проекций так, чтобы на изображении он оказался видимым только с одной стороны (рис. 37), и построим его прямоугольную проекцию. Теперь размеры длины и ширины предмета не изменяются, не будут искажаться углы между прямыми линиями, круглое отверстие изобразится окружностью.
Однако на нем нет третьего измерения - высоты. Чтобы такое изображение стало пригодным для использования на практике, его дополняют указанием о высоте предмета. Высоту можно обозначить на чертеже условно. Так поступают, если изображенный предмет не имеет выступов, впадин и т. п.

На рис. 38 дан чертеж детали, называемой «прокладка». Чертеж содержит одну прямоугольную проекцию. По чертежу видно, что длина детали 30 мм, а ширина 24 мм. В детали имеется одно круглое сквозное отверстие 0 16 мм. Из записи, сделанной на чертеже, узнаем, что толщина (т. е. высота) изображенной детали 4 мм (s 4). Примеры чертежей, содержащих одну прямоугольную проекцию, вы видели на рис. 31 и 32.
На чертеже, полученном при прямоугольном проецировании на одну плоскость, можно указать высоту не только предмета в целом, но и каждой его части, например каждой точки (вершины). При этом нет необходимости каждый раз записывать слово «высота» или «толщина». Достаточно рядом с проекцией той или иной части предмета поставить число, указывающее ее высоту.
Проекции, на которых высота частей предметов указана числом, называются проекциями с числовыми отметками.
Проекции с числовыми отметками вы уже встречали в географии.

Проецирование на две плоскости проекций.

На рис. 41 показан процесс проецирования нескольких предметов. Как видите, все они имеют одинаковые проекции. Поэтому по чертежу, содержащему одну проекцию, не всегда можно точно судить о геометрической форме предмета (параллелепипед, цилиндр или другое тело). Кроме того, на таком чертеже предмет виден лишь с одной стороны, на нем не отражена высота предмета. Все эти недостатки можно устранить, если построить не одну, а две проекции предмета. Для этой цели необходимо взять в пространстве две плоскости проекций (рис. 42), расположенные перпендикулярно относительно друг друга.

Одну из плоскостей проекций располагают горизонтально. Она называется горизонтальной плоскостью проекций и обозначается Н (латинская буква аш) Проекция предмета на эту плоскость называется горизонтальной проекцией.

Вторую плоскость проекций V (читает «вэ») располагают вертикально. Вертикальных плоскостей может быть несколько, поэтому плоскость проекций, расположенную перед зрителем, называют фронтальной (от французского слова «фронталь», что означает «лицом к зрителю»). Полученную на эту плоскость проекцию предмета называют фронтальной. Обратите внимание, что отверстие в детали спроецировалось на фронтальную плоскость проекций как невидимое, поэтому оно изображено штриховыми линиями.

Построенные таким образом проекции оказываются расположенными в пространстве в разных плоскостях (горизонтальной и вертикальной). Чертеж предмета строят на одном листе, т. е. в одной плоскости. Поэтому для получения чертежа предмета обе плоскости приводят (совмещают) в одну. Этот процесс можно легко проследить, если представить плоскости проекций пересекающимися между собой по линии х, которую называют осью проекций (рис. 42, б). Если теперь повернуть горизонтальную плоскость проекций вниз на 90° так, чтобы она совпала с вертикальной плоскостью, обе проекции окажутся расположенными в одной плоскости (рис. 43).
Границу плоскостей проекций на чертеже можно не показывать (рис. 43, б). Не наносят на чертеже проецирующие лучи и линию пересечения плоскостей проекций, т. е. ось проекций, если в этом нет необходимости.
Чтобы видеть при этом, что приведенные на чертеже проекции представляют изображения одного и того же предмета, их располагают в строгом порядке одну под другой.
На рис. 43 горизонтальная проекция расположена под фронтальной. Это принятое в черчении правило размещения проекций нельзя нарушать. Пример чертежа, содержащего две прямоугольные проекции - фронтальную и горизонтальную, Метод прямоугольного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости был разработан французским ученым-геометром Гаспаром Монжем в конце XVIII века. Поэтому такой метод иногда называют методом Монжа.
Г. Монж положил начало развитию новой науки об изображении предметов - начертательной геометрии.

Проецирование на три плоскости проекций.

По двум проекциям предмета также не всегда можно точно представить пространственный образ предмета. Изображения на рис. 45, а могут быть проекциями предметов, показанных на рис. 45, б, рис. 45, в и др. Кроме того, в практике приходится часто строить чертежи очень сложных предметов, где двух проекций оказывается недостаточно для выявления геометрической формы и размеров изображаемого предмета.

Чтобы получить такой чертеж, по которому можно установить единственный образ изображаемого предмета, иногда необходимо пользоваться не двумя, а тремя плоскостями проекций (рис. 46).
Третью плоскость проекций W (читается «дубль вэ») называют профильной, а полученную на нее проекцию -- профильной проекцией предмета (от французского слова «профиль», что означает «вид сбоку»).
Профильная плоскость проекций - вертикальная. Для построения чертежа предмета ее располагают так, чтобы она была одновременно перпендикулярна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций. В пересечении с плоскостью Н она образует ось у, а с плоскостью V- ось z.
Для получения чертежа плоскость W повертывают на 90° вправо, а плоскость Н - вниз. Полученный таким образом чертеж (рис. 46) содержит три прямоугольные проекции предмета. (Оси проекций и проецирующие лучи на чертеже не показаны.) На чертеже профильную проекцию всегда располагают на одной высоте с фронтальной, справа от нее. Такой чертеж мы будем называть чертежом в системе прямоугольных проекций.

В некоторых случаях требуется проецирование на три плоскости проекций, если, например, геометрический объект имеет сложную конструкцию.

Введем в систему двух плоскостей проекций третью плоскость проекций– профильную плоскость W(рисунок1.4). Геометрический объект в системе трех плоскостей проекций проецируют на плоскости H, V и W и получают три проекции одной точки– горизонтальную, фронтальную и профильную.

Если все три плоскости проекций продолжить в геометрическом пространстве во все стороны, то оно разделится тремя плоскостями на восемь частей, называемых октантами(рисунок1.5). Октанты характеризуются различными знаками координат по осям0X, 0Y и0Z.

Рисунок1.3 – Проецирование точки на две плоскости

Знаки координат точки в различных октантах представлены в таблице.

Знаки координат в октантах

На рисунке1.6 представлена трансформация пространственной модели первого октанта вместе с проекциями точки в эпюр:

а) Убирают геометрический объект, но сохраняют его проекции вместе с линиями связи(см. рисунок1.6б);

б) Мысленно"разрезают" октант вдоль оси0Y и разворачивают плоскости H и W так, как показано на рисунке1.6в;

в) Получают плоскостную систему трех плоскостей проекций с осями, линиями связи и проекциями точки(см. рисунок1.6г);

г) Удаляют плоскости проекций и сохраняют лишь оси. В результате преобразований получают комплексный чертеж точки или эпюр Монжа на три плоскости проекций(рисунок1.6д). Следует заметить, что на эпюре образовалось две оси0Y: одна ось относится к плоскости H, другая, помеченная звездочкой*, относится к плоскости W.

Эпюр точки в трех проекциях положен в основу начертательной геометрии и технического черчения. Рассмотрим свойства эпюра Монжа, которые вытекают из пространственного чертежа ортогонального проецирования на три плоскости проекций и эпюра:

1) Горизонтальная проекция точки A определяется координатамиX и Y, причем для её построения координатаY откладывается вдоль вертикальной оси0Y;

2) Фронтальная проекция точки A определяется координатами X иZ;

3) Профильная проекция точки A определяется координатами Z иY,

причем координата Y откладывается вдоль горизонтальной оси0Y*;

4) Горизонтальная и фронтальная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси0X;

5) Фронтальная и профильная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси0Z;

6) Отрезки на линиях связи AхA/= AzA///равны как одна и та же координата Y. Такой же вывод следует из рассмотрения пространственного макета;

7) Из предыдущего свойства следует фундаментальное свойство эпюра Монжа– по двум проекциям точки можно построить третью.

Выше рассмотренное относилось к точке, расположенной в октанте в общем положении. Однако точка может принадлежать плоскостям проекций или осям. Такое положение точки называется частным положением.

Из рисунка1.7 видно, что если точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, то две её проекции будут находиться на осях (рисунок1.7а,б). Если точка принадлежит какой-либо оси проекций, то две её проекции будут находиться на осях, а третья проекция– в точке0 (рисунок1.7в).