Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения Метод последовательного дифференцирования примеры решения подробно

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОМАШИННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ИМПУЛЬСОВ

А. В. ЛООС

(Представлена научным семинаром кафедр электрических машин и общей электротехники)

Переходные процессы электромашинных источников импульсов, например, однофазных ударных генераторов, вентильных импульсных генераторов и др. описываются системами дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, освободиться от которых невозможно путем каких-либо преобразований. Исследования переходных процессов электрических машин в общем случае несимметрии основываются на использовании принципа ¡постоянства потокосцепления, применении интегральных уравнений, приближенных методах решения ит. д. .

В некоторых случаях уравнения переходных процессов злектромашинных импульсных источников энергии удается привести к уравнениям с постоянными коэффициентами, однако необходимость рассмотрения случая двух и более систем обмоток на роторе требует решения кубического уравнения или характеристических уравнений более высоких степеней с комплексными коэффициентами, что в алгебраической фор-ме невозможно . Необходимость учета насыщения магнитной цепи и изменения скорости вращения ротора еще в большей степени усложняет решение подобных задач. В этих случаях наиболее ппиемлемым является применение аналитических методов приближенного решения.

Среди аналитических способов приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений очень распространенным является интегрирование с помощью степенных рядов методом последовательного дифференцирования . Данный метод применим как для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами, так и при решении нелинейных задач. Искомое частное решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора. Эффективность применения метода в сильной степени зависит от умения исследователя использовать априорную информацию о физической природе решаемой задачи.

Действительно, если составить систему дифференциальных уравнений электромашинного источника импульсов, принимая за неизвестные функции токи, то заранее известно, что решения будут представлять быстроколеблющиеся функции. Очевидно, что для их представления в виде ряда Тейлора потребуется большое число членов, т. е. решение будет чрезвычайно громоздким. Дифференциальные уравнения переходных процессов более выгодно составлять не для токов, а для потоко-сцеплений. Это обусловлено тем, что потокосцепления обмоток изменя-

юте я во времени значительно меньше, так как являются, как правило, монотонно изменяющимися функциями, для достаточно точного представления которых в виде разложения в ряд Тейлора требуется лишь несколько членов. После определения потокосцеплений токи находят путем решения обычных алгебраических уравнений.

В качестве примера рассмотрим использование метода последовательного дифференцирования для расчета переходных процессов вентильного импульсного генератора.

Расчет тока нагрузки вентильного генератора мож,но производить по огибающей кривой фазных токов, полученных при внезапном включении синхронного генератора на симметричную трехфазную активную нагрузку. Величина эквивалентной симметричной активной нагрузки определяется соотношением R3 - 2/sRh . Таким образом, для расчета кривой тока нагрузки и фазных токов необходимо решение полной системы дифференциальных уравнений синхронного генератора при включении на симметричную активную нагрузку.

При определении тока якоря внешнее активное сопротивление можно сложить с активным сопротивление статора r = R3+rc. Уравнения переходных процессов синхронного генератора в осях d, q имеют вид:

pYd= - Ud - (ü^q -rld, (1)

р - - Uq + со W6 riq , (2)

P^f = Uf - rfif , (3)

P^Dd - - rodiDcb (4)

PXVD:{ = - rDq ioq , (5)

XfXDd - Х2аг| m Xad(XDd-XaH) Тф. xad (Xj - Хпн) ш

Д " д ri " д Tßd 9

,* _ x°q w „ xaq /7)

q ~ "Ä7™ q q "

XdXDd ~~ x"ad иг xad (xDd "~"xad) m Xad(xd Xad) -ЦГ f ^ -Д- 1 ~~ "-~Д- d " ---- d" * "

XdXf X2ad угу xad (xf ~~ xari) m xad (xd ~ xad) w /n\ iDd = -~д- ^ Dd--Д- Td --д--M» w)

Д - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad(xd + xr -f X[)d) , (11)

A" = XqXDq - X2aq . (12)

Аналитическое решение системы уравнений (1-^12) в общем виде отсутствует. Попытка получения расчетных соотношений для токов синхронного генератора при наличии активных сопротивлений в цепи статора была сделана в . Однако автором была сделана ошибка, физически связанная с недопустимостью предположения постоянства потокосцеплений по продольной и поперечной осям во вращающейся машине при наличии активного сопротивления в цепи статора. На эту ошибку указывалось в , где было получено точное решение для случая одной системы обмоток на роторе и показана невозможность применения обычных методов решения при рассмотрении двух и более систем обмоток на роторе. Поэтому рассматриваемый здесь пример имеет значительный интерес.

Подставляя (6-10) в (1-5) и учитывая, что Ud = Uq=:0, получаем уравнения переходных ¡процессов, записанных относительно потокосцеплений в нормальном виде Кош и:

[(х{х1)с1 - х.^Ч^ - ха{1(х0(1 - х^Ч^ _

3 д7~ (хОо(Ч^ х,1(] Ч^)

Р^ = Ьтг - ^ [(хс]х0с1 - х2аа) Ч*{ - Ха(1 (ХО(1 - ха<1№

Ха<1 (хс! - Х^Ч^] ,

Р =--- Х2а(1)¥141 - хай(х{ - х^Ч^

Хаё(Хс1 - хас1)¥{] ,

р ЧЦ = ^ -¿г (хч Ч^ - хач Ч^) .

Предположим, что до включения на нагрузку синхронный генератор работал на холостом ходу с током возбуждения тогда начальные условия при 1 = 0.

Ч^о = *ГохасЬ = Мь ^Ч"о = 1Гоха(Ь ЧЦ0 - О, ¥С{0 = 0.

При принятых начальных условиях решение для Ч^, ЧЪа, Ч^, ЧЬц может быть представлено в виде разложения в ряд Маклорена

Аналогично для потокосцеплений Ч^, Ч^, Тш, Ч^. Начальные значения производных потокосцеплений в уравнениях вида (18) нетрудно найти при известных начальных условиях последовательным дифференцированием уравнений (13-17). После подстановки начальных значений потокосцеплений и их производных в уравнения вида (18) получим:

(3 = 1Гохас1

ХгХ^ - х ^ \

^ = Чо хас1 Н

1 ГХоп« +2 1 ^ - 4 Г---7- Ш X

2 А" (х2очг + х2ачГоч)

X? 1 г{хаН (Хоа - Хлс1) ®2

сё ~ 1гола(1

1__ГР(1 хяс1 (х{ - хас!) с°2

L Х2ад Год

(20) (21) (22) (23)

Сходимость решений для Ч"д, Ч^, Ч"ш, ЧЪч можно определить исследованием остаточных членов разложений в ряд Маклорена (19-23)

Кп№)= -^тт Р(п+1) ^ (И), (24)

где 0

Аналогично для " Рва, По найденным значениям потокосцеп-

лений, используя уравнения (6-10), нетрудно найти потоки 1г»а, По формулам линейных преобразований определяем фазные токи:

1а = ¡с) соэ со 1 - ¡д эт со 1(25) 1ь = 1й соб 1--- 1ч э1п ^--> (26)

"-с = - 1а - >Ь- (27)

Ток нагрузки вентильного импульсного генератора находится как сумма мгновенных значений фазных токов 1а, 1ь, ¡с одного знака.

По рассматриваемой методике был выполнен расчет переходных процессов вентильного импульсного генератора с параметрами:

Х(1 = = Хос! = хвч = 1,05 ; ха(1 = хас, = 1; х{ = 1,2; гс = г.- !! = гоа = = 0,02; Ин = 0,05 .

На рис. 1 приведены расчетные кривые токов фаз \ъ, ¡с и тока нагрузки ¡ц. Сравнение аналитических расчетов с результатами, полученными на АВМ МН-14 при исследовании по полной системе уравнений, дает

Рис. 1. Расчетные кривые tokos без генератора и нагрузки

хорошую сходимость . Оценка сходимости решения исследованием остаточного члена разложения в ряд Маклорена (24) также показывает, что максимальная погрешность расчета не превышает 5-=-7%.

Метод последовательного дифференцирования может быть применен для анализа переходных процессов электромашинных источников импульсов, уравнения которых содержат переменные коэффициенты. Исследование переходных процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, также не встречает принципиальных трудностей при использовании этого метода, однако его применение в этом случае может привести к громоздким выражениям. Для правильного выбора вида исходной системы дифференциальных уравнений необходимо во всех случаях использовать априорную информацию о физической картине процессов, что в сильной степени упрощает решение.

ЛИТЕРАТУРА

1. И. И. Трещев. Методы исследования машин переменного тока. «Энергия», 1969.

2. А. И. В ажио в. Основы теории переходных процессов синхронной машины. Госэнергоиздат, 1960.

3. Ч. К о н к о р д и а. Синхронные машины. Госэнергоиздат, 1959.

4. Е. Я. К а з о в с к и й. Переходные процессы в электрических машинах переменного тока. Изд-во АН СССР, 1962.

5. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. «Наука», 1969.

6. Г. А. С и п а й л о в, А. В. Л о о с, Ю. И. Рябчиков. Исследование переходных процессов вентильного импульсного генератора. Изв. ТПИ. Настоящий сборник.

Теорема.

Дано:

Если правая часть ДУ, т.е. функция , является аналитической функцией своих аргументов в некоторой окрестности точки , то при значениях , достаточно близких к , существует единственное решение задачи Коши, которое может быть представлено в виде степенного ряда (ряда Тейлора).

Рассмотрим приведенную выше задачу Коши. Будем искать решение задачи Коши для ДУ n-го порядка в виде ряда Тейлора по степеням в окрестности точки .

Коэффициенты ряда представляют собой производные функции , вычисленные в точке .

Найдем их:

1) Из начальных условий определим первые n коэффициентов разложения:

;

2) Значение (n+1)-го коэффициента определим, подставив в ДУ значения :

3) Для нахождения всех последующих коэффициентов будем последовательно дифференцировать левую и правую часть исходного ДУ и вычислять значения коэффициентов, используя начальные условия и все уже полученные коэффициенты.

Замечание. Если выполняются условия теоремы существования и единственности решения, то частичная сумма полученного ряда Тейлора будет приближенным решением поставленной задачи Коши.

Алгоритм метода последовательного дифференцирования

1. Записать решение y(x) в виде бесконечного степенного ряда по степеням :

, где

2. Определить значения первых n коэффициентов (здесь n - порядок исходного уравнения), воспользовавшись начальными условиями.

3. Выразить из ДУ старшую производную. Вычислить ее значение в начальной точке, используя начальные условия. Вычислить коэффициент .

4. Продифференцировав по х выражение для старшей производной из п. 3 найти n+1 производную функции . Вычислить ее значение в начальной точке, используя начальные условия и значение старшей производной, вычисленное в п. 3. Вычислить коэффициент .

5. Остальные коэффициенты вычисляются аналогично процедуре, описанной в п. 4.

Если ур-ние имеет вид Имеем раз-ние в ряд Тейлора Исследуем сходимость полученного ряда, в который подставляем начальные условия.Ряды можно использовать для решения алгебраических уравнений. Вида . Решение таких уравнений осущ методом неопред коэф и послед дифференцированием.

51. Периодические функции. Тригонометрические. Определение коэффициентов методом Эйлера –Фурье .

Периодическая функция с периодом 2П, удовлетворяющая на интервале (-П, П) условиям Дирихле, может быть представлена рядом Фурье:

Коэффициенты которого находятся по формулам

В точках непрерывности функции f(x) ряд Фурье сходится к f(), а в точках разрыва - к . Разложение в ряд Фурье периодической функции f(x) с периодом 2l имеет вид где

53 Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Определение 1. Бесконечная система функций f 1 (x), f 2 (x)..f n (x) (1) называется ортогональной на отрезке [а, b], если при любых n≠k выполняется равенство (x)ϕ k (x)dx=0(2) При этом предполагается, что dx≠0 Пусть функция ϕ(x) , определенная на отрезке [а, b], такова, что она представляется рядом по функциям ортогональной системы (1), который сходится к данной функции на [а, b]: f(x)= (x) (6). Определим коэффициенты с п. Допустим, что ряд, полученный после умножения ряда (6) на любую ϕ k (х), допускает почленное интегрирование. Умножим обе части равенства (6) на ϕ k (x) и проинтегрируем в пределах от а до b. Учитывая равенства (2), получим (x)ϕ k (x)dx=c k откуда (7) Коэффициенты с к, вычисленные по формулам (7), называются 5 ко­эффициентами Фурье функции f (х) по системе ортогональных функций (1). Ряд (6) называется рядом Фурье по системе функ­ций (1).

54. Условия Дирихле. Достаточное условие представления функции в ряд Фурье. Функция f(x) определенна и непрерывна в некоторой области значений х, называется не убывающей(не возрастающей) если из условия х 2 >x 1 ; f(x 2)≥f(x 1) -не убывающая f(x 2)≤f(x 1)- не возрастающая Функция f(x) называется кусочно монотонной на отрезке если этот отрезок можно разбить на конечное числом точек х 1 , х 2 , х 3 ….. х n -1 на интервалы так что на каждом из интервалов функция монотонна, тоесть либо не убывает, либо не возрастает,из этого следует что если функция f(x) кусочно монотонная и ограничена на отрезки то она может иметь точки разрыва 1 рода. х=с =f(c-0) =f(c+0);f(c-0) f(c+0).Т.Дирихле.Если функция f(x) с периодом 2π кусочно монотонная и ограниченая на замкнутом промежутке х [-π;π], то ряд Фурье построеный на этой функции сходится во всех точках сумма полученного ряда S(х) равна значению f(x) в точках непрерывности этой функции, в точках разрыва функции f(x) сумма ряда равняется среднему арифмитическому приделу функции f(x) справа и слева.S(c)={f(c-0)+f(c+0)}/2.Условия данной теоремы называются условиями Дирикхле.

55.Разложение четных/нечетных функций в ряд Фурье.

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(х)-четная функция, то Действительно

Так как по определению четной функции ψ(-х)= ψ(х).

Аналогично можно доказать, что если φ(х)-нечетная функция то Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция f(x), то произведение f(x)cos(kx) есть функция также нечетная, а f(x)sin(kx)-четная; следовательно Тоесть ряд Фурье нечетной функции содержит “только синусы”

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение f(x)sin(kx) есть функция нечетная, а f(x)cos(kx)-четная, следовательно

Тоесть ряд Фурье четной функции содержит “только косинусы” Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.