Замечательно, что свойство указанное в теореме Пифагора, является характеристическим свойством прямоугольного треугольника. Это следует из теоремы, обратной теореме Пифагора.

Теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Формула Герона

Выведем формулу, выражающую плоскость треугольника через длины его сторон. Эту формулу связывают с именем Герона александрийского - древнегреческого математика и механика, жившего, вероятно в 1 в.н.э. Герон много уделял внимания практическим приложениям геометрии.

Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны a , b , c , вычисляется по формуле S=, где p - полупериметр треугольника.

Доказательство.

Дано: ?ABC, АВ= с, ВС= а, АС= b.Углы А и В, острые. СН - высота.

Доказать:

Доказательсво:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c , BC=a, AC=b. Во всяком треугольнике, по крайней мере, два угла острые. Пусть А и В - острые углы треугольника АВС. Tогда основание H высоты CH треугольника лежит на стороне AB. Введем обозначения: CH = h, AH=y, HB=x. по теореме Пифагора a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2 , откуда

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2 , или (y - x) (y + x) = b 2 - a 2 , а так как y + x = c, то y- x = (b2 - a2).

Складывая два последних равенства, п олучаем:

2y = +c, откуда

y=,и, значит, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Следовательно, h = .

Цели урока:

общеобразовательные:

• проверить теоретические знания учащихся (свойства прямоугольного треугольника, теорема Пифагора), умение использовать их при решении задач;
• создав проблемную ситуацию, подвести учащихся к “открытию” обратной теоремы Пифагора.

развивающие:

• развитие умений применять теоретические знания на практике;
• развитие умения формулировать выводы при наблюдениях;
• развитие памяти, внимания, наблюдательности:
• развитие мотивации учения через эмоциональное удовлетворение от открытий, через введение элементов истории развития математических понятий.

воспитательные:

• воспитывать устойчивый интерес к предмету через изучение жизнедеятельности Пифагора;
• воспитание взаимопомощи и объективного оценивания знаний одноклассников через взаимопроверку.

Форма урока: классно-урочная.

План урока:

• Организационный момент.
• Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.
• Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора.
• Новая тема.
• Первичное закрепление знаний.
• Домашнее задание.
• Итоги урока.
• Самостоятельная работа (по индивидуальным карточкам с отгадыванием афоризмов Пифагора).

Ход урока.

Организационный момент.

Проверка домашнего задания. Актуализация знаний.

Учитель: Какое задание вы выполняли дома?

Ученики: По двум данным сторонам прямоугольного треугольника найти третью сторону, ответы оформить в виде таблицы. Повторить свойства ромба и прямоугольника. Повторить, что называется условием, а что заключением теоремы. Подготовить сообщения о жизни и деятельности Пифагора. Принести веревку с 12-ю завязанными на ней узлами.

Учитель: Ответы к домашнему заданию проверьте по таблице

(черным цветом выделены данные, красным – ответы).

Учитель: На доске записаны утверждения. Если вы согласны с ними на листочках напротив соответствующего номера вопроса поставьте “+”, если не согласны, то поставьте “–”.

На доске заранее написаны утверждения.

1. Гипотенуза больше катета.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180 0 .
3. Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и в вычисляется по формуле S=ab/2 .
4. Теорема Пифагора верна для всех равнобедренных треугольников.
5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы.
6. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
7. Квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и второго катета.
8. Сторона треугольника равна сумме двух других сторон.

Проверяются работы с помощью взаимопроверки. Утверждения, вызвавшие споры, – обсуждаются.

Ключ к теоретическим вопросам.

Учащиеся ставят друг другу оценки по следующей системе:

8 правильных ответов “5”;
6-7 правильных ответов “4”;
4-5 правильных ответов “3”;
меньше 4 правильных ответов “2”.

Учитель: О чем мы говорили на прошлом уроке?

Ученик: О Пифагоре и его теореме.

Учитель: Сформулируйте теорему Пифагора. (Несколько учеников читают формулировку, в это время 2-3 ученика доказывают ее у доски, 6 учеников – за первыми партами на листочках).

На магнитной доске на карточках написаны математические формулы. Выберите те из них, которые отражают смысл теоремы Пифагора, где а и в – катеты, с – гипотенуза.

1) с 2 = а 2 + в 2	2) с = а + в	3) а 2 = с 2 – в 2
4) с 2 = а 2 – в 2	5) в 2 = с 2 – а 2	6) а 2 = с 2 + в 2

Пока учащиеся, доказывающие теорему у доски и на местах, не готовы, слово предоставляется тем, кто подготовил сообщения о жизни и деятельности Пифагора.

Школьники, работающие на местах, сдают листочки и слушают доказательства тех, кто работал у доски.

Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора.

Учитель: предлагаю вам практические задачи с применением изучаемой теоремы. Побываем сначала в лесу, после бури, потом на загородном участке.

Задача 1 . После бури сломалась ель. Высота оставшейся части 4,2 м. Расстояние от основания до упавшей макушки 5,6 м. Найти высоту ели до бури.

Задача 2 . Высота дома 4,4 м Ширина газона вокруг дома 1,4 м. Какой длины надо изготовить лестницу, чтобы она не заступала на газон и доставала до крыши дома?

Новая тема.

Учитель: (звучит музыка) Закройте глаза, на несколько минут мы окунемся в историю. Мы с вами в Древнем Египте. Вот на верфях египтяне строят свои знаменитые корабли. А вот землемеры, они измеряют участки земли, границы которых смылись после разлива Нила. Строители строят грандиозные пирамиды, которые до сих пор поражают нас своим великолепием. Во всех этих видах деятельности египтянам необходимо было использовать прямые углы. Они умели строить их с помощью веревки с 12 ю завязанными на одинаковом расстоянии друг от друга узелками. Попробуйте и вы, рассуждая как древние египтяне, построить с помощью своих веревок прямоугольные треугольники. (Решая эту проблему, ребята работают в группах по 4 человека. Через некоторое время на планшете у доски кто-то показывает построение треугольника).

Стороны полученного треугольника 3, 4 и 5. Если между этими узлами завязать еще по одному узлу, то его стороны станут 6, 8 и 10. Если по два – 9, 12 и 15. Все эти треугольники являются прямоугольными т. к.

5 2 = 3 2 + 4 2 , 10 2 = 6 2 + 8 2 , 15 2 = 9 2 + 12 2 и т.д.

Каким свойством должен обладать треугольник, чтобы быть прямоугольным? (Учащиеся пытаются сами сформулировать обратную теорему Пифагора, наконец, у кого-то это получается).

Чем эта теорема отличается от теоремы Пифагора?

Ученик: Условие и заключение поменялись местами.

Учитель: Дома вы повторяли, как называются такие теоремы. Так с чем мы сейчас познакомились?

Ученик: С обратной теоремой Пифагора.

Учитель: Запишем в тетради тему урока. Откройте учебники на стр. 127 прочитайте еще раз это утверждение, запишите его себе в тетрадь и разберите доказательство.

(После нескольких минут самостоятельной работы с учебником по желанию один человек у доски приводит доказательство теоремы).

1. Как называется треугольник со сторонами 3, 4 и 5? Почему?
2. Какие треугольники называются пифагоровыми?
3. С какими треугольниками вы работали в домашнем задании? А в задачах с сосной и лестницей?

Первичное закрепление знаний

.

Эта теорема помогает решать задачи, в которых надо выяснить, будут ли треугольники прямоугольными.

Задания:

1) Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны:

а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24.

2) Вычислите высоты треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Домашнее задание

.

Стр.127:обратная теорема Пифагора. № 498(а,б,в) № 497.

Итоги урока.

Что нового узнали на уроке?

Как в Египте использовали обратную теорему Пифагора?

При решении каких задач она применяется?

C какими треугольниками познакомились?

Что больше всего запомнилось и понравилось?

Самостоятельная работа (проводится по индивидуальным карточкам).

Учитель: Дома вы повторяли свойства ромба и прямоугольника. Перечислите их (идет беседа с классом). На прошлом уроке мы говорили о том, что Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а так же был спортсменом и участвовал в олимпийских играх. А еще Пифагор был философом. Многие его афоризмы и сегодня актуальны для нас. Сейчас вы будете выполнять самостоятельную работу. К каждому заданию дано несколько вариантов ответов, рядом с которыми записаны фрагменты афоризмов Пифагора. Ваша задача – решив все задания, составить из полученных фрагментов высказывание и записать его.

Теорема Пифагора гласит:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a 2 + b 2 = c 2 ,

• a и b – катеты, образующие прямой угол.
• с – гипотенуза треугольника.

Формулы теоремы Пифагора

• a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}
• b = \sqrt {c^{2} - a^{2}}
• c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}

Доказательство теоремы Пифагора

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} ab

Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:

• p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c) ,
• r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).

Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:

\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^{2} -c^{2} \right)

2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}

0=a^{2}+b^{2}-c^{2}

c^{2} = a^{2}+b^{2}

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c , такой, что

a 2 + b 2 = c 2 ,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c .

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.

Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.

Дополнительный материал:

Решение задачи:

252 = 242 + 72, значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е. S = hс * с: 2, где с - гипотенуза, hс - высота, проведённая к гипотенузе, тогда hс = = = 6,72 (см)

Ответ: 6,72 см.

Цель этапа:

Слайд № 4

«4» - 1 неверный ответ

«3» - ответы неверные.

Предлагаю выполнить:

Слайд № 5

Цель этапа:

В заключении урока:

На доске записаны фразы:

Урок полезен, все понятно.

Еще придется потрудиться.

Да, трудно все-таки учиться!

Просмотр содержимого документа
«Проект урока математики "Теорема, обратная теореме Пифагора" »

Проект урока «Теорема, обратная теореме Пифагора»

Урок «открытия» новых знаний

Цели урока:

деятельностная: формирование у обучающихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия на основе метода рефлексивной самоорганизации;

образовательная: расширение понятийной базы за счёт включения в неё новых элементов.

Этап мотивации учебной деятельности (5 мин)

Взаимное приветствие учителя и обучающихся, проверка подготовленности к уроку, организация внимания и внутренней готовности, быстрое включение учеников в деловой ритм посредством решения задач по готовым чертежам:

Найти ВС, если АВСД – ромб.

АВСД – прямоугольник. АВ:АД = 3:4. Найти АД.

Найти АД.

Найти АВ.

Найти ВС.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

1.ВС = 3; 2.АД = 4см; 3.АВ = 3√2см.

Этап «открытия» новых знаний и способов действия (15 мин)

Цель этапа: формулировка темы и целей урока с помощью подводящего диалога (приём «проблемная ситуация»).

Сформулировать утверждения, обратные данным и выяснить, верны ли они: слайд № 1

В последнем случае ученики могут сформулировать утверждение, обратное данному.

Инструктаж к работе в парах по изучению доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора.

Я инструктирую обучающихся о способе деятельности, о месте нахождения материала.

Задание парам: слайд № 2

Самостоятельная работа в парах по изучению доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора. Публичная защита доказательства.

Одна из пар начинает своё выступление с формулировки теоремы. Идёт активное обсуждение доказательства, в ходе которого с помощью вопросов учителя и учеников обосновывается тот или иной вариант.

Сравнение доказательства теоремы с доказательством учителя

Учитель работает у доски, обращаясь к ученикам, которые работают в тетради.

Дано: АВС – треугольник, АВ 2 = АС 2 + ВС 2

Выяснить, является ли АВС прямоугольным. Доказательство:

Рассмотрим А 1 В 1 С 1 такой, что ˂С = 90 0 , А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС. Тогда по теореме Пифагора А 1 В 1 2 = А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 .

Так как А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС, то: А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 = АС 2 + ВС 2 = АВ 2 , следовательно, АВ 2 = А 1 В 1 2 и АВ = А 1 В 1 .

А 1 В 1 С 1 = АВС по трём сторонам, откуда ˂С = ˂С 1 = 90 0 , то есть АВС – прямоугольный. Итак, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Данное утверждение называют теоремой, обратной теореме Пифагора.

Публичное выступление одного из обучающихся о Пифагоровых треугольниках (заранее подготовленная информация).

Слайд № 3

После информации задаю ученикам несколько вопросов.

Являются ли пифагорывыми треугольниками треугольники:

с гипотенузой 25 и катетом 15;

с катетами 5 и 4?

Этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи (10 мин)

Цель этапа: продемонстрировать применение теоремы, обратной теореме Пифагора в процессе решения задач.

Предлагаю решить задачу № 499 а) из учебника. Один из обучающихся приглашается к доске, прорешивает задачу с помощью учителя и учеников, проговаривая решение во внешней речи. В процессе выступления приглашённого ученика, я задаю несколько вопросов:

Как проверить, является ли треугольник прямоугольным?

К какой из сторон будет проведена меньшая высота треугольника?

Какой способ вычисления высоты треугольника часто используют в геометрии?

Используя формулу для вычисления площади треугольника, найдите нужную высоту.

Решение задачи:

25 2 = 24 2 + 7 2 , значит треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, т.е. S = h с * с: 2, где с – гипотенуза, h с – высота, проведённая к гипотенузе, тогда h с = = = 6,72 (см)

Ответ: 6,72 см.

Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону (10 мин)

Цель этапа: совершенствовать самостоятельную деятельность на уроке, осуществляя самопроверку, учить давать оценку деятельности, анализировать, делать выводы.

Предлагается самостоятельная работа с предложением адекватно оценить свою работу и поставить соответствующую оценку.

Слайд № 4

Критерии выставления оценки: «5» - все ответы верные

«4» - 1 неверный ответ

«3» - ответы неверные.

Этап информирования учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (3 мин).

Сообщаю обучающимся о домашнем задании, разъясняю методику его выполнения, проверяю понимание содержания работы.

Предлагаю выполнить:

Слайд № 5

Этап рефлексии учебной деятельности на уроке (2мин)

Цель этапа: учить обучающихся оценивать свою готовность обнаруживать незнания, находить причины затруднений, определять результат своей деятельности.

На этом этапе я предлагаю каждому ученику выбрать только одного из ребят, кому хочется сказать спасибо за сотрудничество и пояснить, в чем именно это сотрудничество проявилось.

Благодарственное слово учителя является завершающим. При этом я выбираю тех, кому досталось наименьшее количество комплиментов.

В заключении урока:

На доске записаны фразы:

Урок полезен, все понятно.

Лишь кое-что чуть-чуть неясно.

Еще придется потрудиться.

Да, трудно все-таки учиться!

Дети подходят и ставят знак (галочку) у тех слов, которые им больше всего подходят по окончании урока.

Рассмотрение тем школьной программы с помощью видеоуроков является удобным способом изучения и усвоения материала. Видео помогает сконцентрировать внимание учащихся на основных теоретических положениях и не упускать важных деталей. При необходимости школьники всегда могут прослушать видеоурок повторно или вернуться на несколько тем назад.

Данный видеоурок для 8-го класса поможет учащимся изучить новую тему по геометрии.

В предыдущей теме мы изучили теорему Пифагора и разобрали ее доказательство.

Существует также теорема, которая известна как обратная теорема Пифагора. Рассмотрим ее подробнее.

Теорема. Треугольник является прямоугольным, если в нем выполняется равенство: значение одной стороны треугольника, возведенной в квадрат, такое же, как сумма возведенных в квадрат двух других сторон.

Доказательство. Допустим, нам дан треугольник ABC, в котором выполняется равенство AB 2 = CA 2 + CB 2 . Необходимо доказать, что угол С равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник A 1 B 1 C 1 , в котором угол С 1 равен 90 градусов, сторона C 1 A 1 равна CA и сторона B 1 C 1 равна BС.

Применяя теорему Пифагора, запишем отношение сторон в треугольнике A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Произведя замену в выражении на равные стороны, получим A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Из условий теоремы мы знаем, что AB 2 = CA 2 + CB 2 . Тогда можем записать A 1 B 1 2 = AB 2 , из чего следует, что A 1 B 1 = AB.

Мы нашли, что в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны три стороны: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Значит, эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что угол С равен углу С 1 и соответственно равен 90 градусов. Мы определили, что треугольник ABC прямоугольный и его угол С равен 90 градусов. Мы доказали данную теорему.

Далее автор приводит пример. Допустим, дан произвольный треугольник. Известны размеры его сторон: 5, 4 и 3 единиц. Проверим утверждение из теоремы, обратной теореме Пифагора: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Утверждение верно, значит данный треугольник прямоугольный.

В следующих примерах треугольники также будут прямоугольными, если их стороны равны:

5, 12, 13 единиц; равенство 13 2 = 5 2 + 12 2 является верным;

8, 15, 17 единиц; равенство 17 2 = 8 2 + 15 2 является верным;

7, 24, 25 единиц; равенство 25 2 = 7 2 + 24 2 является верным.

Известно понятие пифагорового треугольника. Это прямоугольный треугольник, у которого значения сторон равны целым числам. Если катеты пифагорового треугольника обозначить через a и c, а гипотенузу b, то значения сторон этого треугольника можно записать с помощью следующих формул:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

где m, n, k- любые натуральные числа, причем значение m больше значения n.

Интересный факт: треугольник со сторонами 5, 4 и 3 называют также египетским треугольником, такой треугольник был известен еще в Древнем Египте.

В данном видеоуроке мы ознакомились с теоремой, обратной теореме Пифагора. Подробно рассмотрели доказательство. Также учащиеся узнали, какие треугольники называют пифагоровыми.

Учащиеся с легкостью могут ознакомиться с темой «Теорема, обратная теореме Пифагора» самостоятельно с помощью данного видеоурока.